Flujo del impulso

El impulso por unidad de volumen es $\rho\vec{v}$. Determinemos su variación respecto al tiempo, aplicando la notación tensorial.$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho v_i)=\rho\frac{\partial v_i}{\partial t}+\frac{\partial \rho}{\partial t}v_i$$Utilizando la ecuación de continuidad en su forma tensorial$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial(\rho v_k)}{\partial x_k}$$y la ecuación de Euler en la forma$$\frac{\partial v_i}{\partial t}=-v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i}$$Obtenemos\begin{align}\frac{\partial}{\partial t}(\rho v_i)&=-\rho v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{\partial P}{\partial x_i}-v_i\frac{\partial(\rho v_k)}{\partial x_k}\\&=-\frac{\partial P}{\partial x_i}-\frac{\partial}{\partial x_k}(\rho v_iv_k)\end{align}Utilizando el delta de Kronecker para el primer término del segundo miembro$$\frac{\partial P}{\partial x_i}=\delta_{ik}\frac{\partial P}{\partial x_k}$$finalmente se obtiene$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho v_i)=-\frac{\partial\prod_{ik}}{\partial x_k}$$donde se ha definido el tensor simétrico $\prod_{ik}$ como$$\prod_{ik}=P\delta_{ik}+\rho v_iv_k.$$A este tensor se denomina tensor de densidad de flujo de impulso,

Interpretación física del tensor $\prod_{ik}$: