Flujo del impulso

El impulso por unidad de volumen es $\rho\vec{v}$. Determinemos su variación respecto al tiempo, aplicando la notación tensorial. $$\frac{\partial}{\partial t}(\rho v_i)=\rho\frac{\partial v_i}{\partial t}+\frac{\partial \rho}{\partial t}v_i$$ Utilizando la ecuación de continuidad en su forma tensorial $$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial(\rho v_k)}{\partial x_k}$$ y la ecuación de Euler en la forma $$\frac{\partial v_i}{\partial t}=-v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i}$$ Obtenemos $$\begin{align}\frac{\partial}{\partial t}(\rho v_i)&=-\rho v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{\partial P}{\partial x_i}-v_i\frac{\partial(\rho v_k)}{\partial x_k}\\&=-\frac{\partial P}{\partial x_i}-\frac{\partial}{\partial x_k}(\rho v_iv_k)\end{align}$$ Utilizando el delta de Kronecker para el primer término del segundo miembro $$\frac{\partial P}{\partial x_i}=\delta_{ik}\frac{\partial P}{\partial x_k}$$ finalmente se obtiene $$\frac{\partial}{\partial t}(\rho v_i)=-\frac{\partial\prod_{ik}}{\partial x_k}$$ donde se ha definido el tensor simétrico $\prod_{ik}$ como $$\prod_{ik}=P\delta_{ik}+\rho v_iv_k.$$ A este tensor se denomina tensor de densidad de flujo de impulso,

Interpretación física del tensor $\prod_{ik}$: