Ecuación de Euler

La fuerza resultante debida a la presión del fluido contenido en el volumen $V_\circ$ es \begin{align}\vec{F}_p=-\oint_{\partial V_\circ}P\, d\vec{A}\end{align}transformando a una integral de volumen, tenemos \begin{align}-\oint_{\partial V_\circ}P\, d\vec{A}=-\int_{V_\circ}\nabla P \, dV\end{align} podemos decir que sobre una unidad de volumen del fluido actúa una fuerza $-\nabla P$.

Fig. 1 Diferencial de presión

Por otro lado, si $\vec{F}$ es la fuerza exterior por unidad de masa que actúa sobre el fluido, la fuerza externa resultante que actúa sobre $V_\circ$ es \begin{align}\vec{F}_e=\int_{V_\circ}\rho\vec{F}\,dV \end{align}Para describir la ecuación de movimiento de un elemento de volumen del fluido, aplicamos la segunda ley de Newton $\vec{F}_t=\vec{F}_p+\vec{F}_e$: \begin{align}\int_{V_\circ}\rho\frac{d\vec{v}}{dt}\,dV=\int_{V_\circ}\rho\vec{F}\,dV-\int_{V_\circ}\nabla P \, dV\end{align} simplificando tenemos \begin{align}\int_{V_\circ}\left(\rho\frac{d\vec{v}}{dt}-\rho\vec{F}+\nabla P\right) dV=\vec{0}\end{align} Ahora, como $V_\circ$ es una región arbitraria del fluido,\begin{align}\boxed{\frac{d\vec{v}}{dt}=-\frac{1}{\rho}\nabla P+\vec{F}}\end{align}Aplicando la siguiente identidad vectorial para la velocidad \begin{align}\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\left(\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}\end{align}La ecuación de Euler toma la siguiente forma:\begin{align}\boxed{\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\left(\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}=-\frac{1}{\rho}\nabla P+\vec{F}}\end{align}Es interesante señalar otra forma que puede adquirir la ecuación de Euler. En efecto, aplicando la siguiente identidad vectorial: \begin{align}\nabla\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right)=\vec{A}\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)+\vec{B}\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)+\left(\vec{A}\cdot\nabla\right)\vec{B}+\left(\vec{B}\cdot\nabla\right)\vec{A}\end{align}para el caso particular $\vec{A}=\vec{B}=\vec{v}$\begin{align}\nabla\left(v^2\right)=2\left(\vec{v}\times\left(\nabla\times\vec{v}\right)+\left(\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v} \right) \end{align}La ecuación de Euler toma la siguiente forma:\begin{align}\boxed{\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\frac{1}{2}\nabla v^2-\vec{v}\times\left(\nabla\times\vec{v}\right)=-\frac{1}{\rho}\nabla P+\vec{F}}\end{align}

Nota: 

• No se ha tenido en cuenta la disipación de energía que puede producirse en un fluido en movimiento (viscosidad).
• Tampoco el intercambio térmico entre las diferentes partes del mismo (conductividad térmica).
• La ausencia de intercambio térmico entre las diferentes partes del fluido significa que el movimiento a través del fluido es adiabático.
• El movimiento de un fluido ideal es adiabático.
• En el movimiento adiabático la entropía de una partícula cualquiera del fluido permanece constante cuando dicha partícula se mueve en el espacio.
• En un fluido en reposo que esta en el interior de un campo gravitatorio, sobre cualquier unidad de volumen, la fuerza externa por unidad de masa es la producida por la gravedad.