Ecuación de Continuidad

Para deducir la ecuación fundamental de la dinámica de fluidos, veamos la siguiente gráfica:

Fig. 1 Diferencial de masa y de flujo

La masa del fluido contenida en este volumen es $$\begin{align}m=\int_{V_{\circ}}\rho\,dV\end{align}$$ siendo $\rho$ la densidad del fluido. La masa del fluido que fluye por unidad de tiempo a través de un elemento de superficie $d\vec{A}$ que limita a este volumen es $$\rho\vec{v}\cdot d\vec{A}$$ el módulo del vector $d\vec{A}$ es igual al área del elemento superficial y su dirección coincide con la normal a la misma, por convenio su modulo es:

• Positivo si el fluido sale del volumen.
• Negativo si el fluido es dirigido hacia el interior del mismo.

La masa total de fluido que sale del volumen $V_\circ$ por unidad de tiempo es, por consiguiente: $$\begin{align}\oint_{\partial V_\circ}\rho\vec{v}\cdot d\vec{A}\end{align}$$ Por otro lado, la disminución de la masa del fluido en el volumen $V_\circ$ por unidad de tiempo es: $$\begin{align}-\frac{\partial m}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_\circ}\rho\,dV\end{align}$$ igualando ambas expresiones, tenemos $$\begin{align}\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_\circ}\rho\,dV=-\oint_{\partial V_\circ}\rho\vec{v}\cdot d\vec{A}.\end{align}$$ La integral de superficie puede transformarse mediante el teorema de divergencia en una integral de volumen $$\begin{align}\oint_{\partial V_\circ}\rho\vec{v}\cdot d\vec{A}=\int_{V_\circ}\nabla\cdot(\rho\vec{v})dV\end{align}$$ así pues $$\begin{align}\int_{V_\circ}\left[\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\vec{v})\right]dV=0\end{align}$$ como esta ecuación debe ser valida para cualquier volumen, el integrado debe anularse, es decir, $$\begin{align}\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0}\end{align}$$ esta es la denominada ecuación de continuidad. El vector $\vec{J}=\rho\vec{v}$ se denomina densidad de flujo masivo. Su dirección es la del movimiento del fluido, mientras que su modulo es igual a la masa del fluido que circula por la unidad de tiempo a través de la unidad de área perpendicular a la velocidad.

El vector $\vec{v}$ de un fluido incomprensible es solenoidal, en efecto: $$\begin{align}\frac{\partial\rho}{\partial t}=0\quad y \quad \nabla\rho=\vec{0}\end{align}$$ puesto que la densidad $\rho$ es constante. Aplicando $$\begin{align}\nabla\cdot\left(\rho \vec{v}\right)=\nabla\rho\cdot \vec{v}+\rho\nabla\cdot\vec{v}\end{align}$$ en la función de continuidad $$\begin{align}\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho\vec{v}\right)=\rho\nabla\cdot\vec{v}=0\end{align}$$ es decir $$\begin{align}\nabla\cdot\vec{v}=0\end{align}$$ lo que indica que $\vec{v}$ es solenoidal.