Potencial Eléctrico

La energía potencial es la parte de la energía que posee un cuerpo dentro de un sistema en virtud de su posición dentro del mismo y es igual al trabajo hecho para colocar el cuerpo en esa posición.

Fig. 1. Cuando el campo eléctrico $E$ se dirige hacia abajo, el punto $B$ está en un potencial eléctrico menor que el punto $A$. Situación análoga al campo gravitatorio.

La energía potencial eléctrica que la carga positiva tiene en la posición $A$ (Fig. 2), es el trabajo realizado por la fuerza $F_A$ para mover la carga en contra del campo eléctrico desde $B$ hasta $A$. $$E_P=W=F_Ad.$$

Fig. 2. Carga eléctrica positiva dentro de un campo eléctrico uniforme.

Pero la magnitud de la fuerza externa aplicada $F_A$ es justo igual a la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga, esto es, $F_A=F=qE$, por tanto $$E_P=qEd.$$ Note que de manera análoga a un campo gravitatorio, la carga eléctrica positiva liberada desde $A$ cae hacia la placa inferior convirtiendo su energía potencial en cinética.

Dinámica de una partícula cargada en un camplo eléctrico. En la Fig. 2 se planteó la situación de una carga positiva moviéndose dentro de un campo electrostático. En el caso más general se puede considerar cualquier carga eléctrica $q$ en movimiento dentro de un campo electrostástico $E$ y se afirma que la carga eléctrica $q$ experimenta una fuerza $F$ dada por: $$F=qE.$$ Ahora, si la carga se mueve libremente, experimentará una aceleración que por la segunda ley de Newton es: $$a=\frac{F}{m}=q\frac{E}{m}.$$ Y si el campo eléctrico es constante como en la Fig. 3, entonces la aceleración es constante y el movimiento de la carga corresponde a un MRUA y por tanto cumple con las siguientes ecuaciones: $$\begin{align}x=x_\circ+v_\circ t+\frac{1}{2}at^2\hspace{2cm}v=v_\circ+at\hspace{2cm}v^2=v^2_\circ+a\Delta x\end{align}$$

Fig. 3. Campos eléctricos uniformes.

Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas dicretas

Para un desplazamiento infinitesimal $d\vec{s}$ de una carga puntual $q$ inmersa en un campo eléctrico, el trabajo realizado por un campo eléctrico sobre la misma es $$W_{int}=\vec{F}\cdot d\vec{s}=q\vec{E}\cdot d\vec{s},$$

Fig. 4. Potencial eléctrico debido a un carga puntual.

donde $A$ y $B$ son los dos puntos arbitrarios que se muestran en la Fig. 4. En cualquier punto en el espacio el campo eléctrico a causa de la carga puntual es $$\vec{E}=\frac{k_eq}{r^2}\hat{r},$$ donde $\hat{r}$ es un vector unitario radialmente hacia fuera de la carga. Por lo tanto, la cantidad $\vec{E}\cdot d\vec{s}$ puede expresarse mediante $$\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{k_eq}{r^2}\hat{r}\cdot d\vec{s}.$$ Como la magnitud de $\hat{r}$ es 1, el producto punto $\hat{r}\cdot d\vec{s}=ds\,\cos{\theta}$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\hat{r}$ y $d\hat{s}$. Ademas, $ds\cos{\theta}$ es la proyección de $d\vec{s}$ sobre $\hat{r}$, por tanto $ds\cos{\theta}=dr$, en consecuencia, la expresión de la diferencia de potencial se convierte en $$\Delta V=-k_eq\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2}=k_eq\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right),$$ en resumen, el potencial eléctrico establecido por una carga puntual a cualquier distancia $r$ de la carga es $$V=k_e\frac{q}{r}.$$ El potencial eléctrico resultante de dos o más cargas puntuales se obtiene mediante la aplicación del principio de superposición. Es decir, el potencial eléctrico total en algún punto $P$ debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales. Para un grupo de cargas puntuales, puede expresar el potencial eléctrico total en $P$ como  $$V=k_e\sum_{i}\frac{q_i}{r_i},$$ donde $r_i$ corresponde a la distancia que hay desde la carga $q_i$ hasta el punto $P$.

Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas continuas

Si conoce la distribución de carga, considere el potencial debido a un elemento de carga $dq$ pequeño y trate a este elemento como una carga puntual (ver Fig. 5). Por tanto, el diferencial de potencial eléctrico $dV$ en algún punto $P$, debido al elemento de carga $dq$, es $$dV=k_e\frac{dq}{r}$$ donde $r$ es la distancia desde el diferencial de carga $dq$ al punto $P$. Ahora para calcular el potencial total en el punto $P$, se debe integrar la ecuación anterior a fin de incluir las contribuciones de todos los elementos de la distribución de carga, por tanto $$V=k_e\int\frac{dq}{r}.$$ En esta expresión de $V$ el potencial eléctrico se supone igual a cero cuando el punto $P$ se encuentra infinitamente lejos de la distribución de carga.

Fig. 5. Potencial eléctrico en el punto $P$ debido a una distribución de carga continua.

Campo eléctrico a partir del potencial

¿Cómo se calcula el valor del campo eléctrico si el potencial eléctrico se conoce en una determinada región? Como se sabe, la diferencia de potencial $dV$ entre dos puntos separados una distancia $ds$ es $$dV=-\vec{E}\cdot d\vec{s}$$ Si el campo eléctrico tiene sólo una componente $E_x$, entonces $\vec{E}\cdot d\vec{s}=E_xdx$. Por tanto; $$E_x=-\frac{dV}{dx}$$ Esta ecuación es la afirmación matemática del hecho de que el campo eléctrico es una medida de la rapidez de cambio del potencial eléctrico con la posición. 

Nota: Experimentalmente, el potencial eléctrico y la posición se pueden medir con facilidad si utiliza un voltímetro (dispositivo para medir la diferencia de potencial) y una cinta métrica. En consecuencia, un campo eléctrico se determina al medir el potencial eléctrico en varias posiciones en el campo y dibujando una gráfica de los resultados

Ejemplos

Potencial discreto. 

1. Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto separadas por una distancia $2a$, (ver Fig. 6). El dipolo está a lo largo del eje $x$ y tiene centro en el origen

Fig. 6. Dipolo sobre el eje $x$.

• El potencial eléctrico en el punto $P$ sobre el eje $y$ es: $$V_P=k_e\left(\frac{q}{\sqrt{a^2+y ^2}}-\frac{q}{\sqrt{a^2+y ^2}}\right)=0$$
• El potencial eléctrico en el punto $R$ sobre el eje $x$ es: $$V_P=k_e\left(\frac{q}{x+a}-\frac{q}{x-a}\right)=-\frac{2k_eqa}{x^2-a^2}$$
• La componente $E_x$ del campo eléctrico es: $$E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{4k_eqax}{(x^2-a^2)^2}$$

Potencial Continuo. 

2. Una barra de longitud $\ell$, tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud $\lambda$ y una carga total $Q$ (ver Fig. 7). Calcule el potencial eléctrico en el punto $P$ que se ubica a lo largo de la barra a una distancia $a$ del extremo izquierdo. 

Fig. 7. Potencial eléctrico en $P$ debido a una barra uniformemente cargada a lo largo del eje $x$.

Solución: El potencial de campo eléctrico en $P$ debido al segmento de la barra de carga $dq$ es: $$dV=k_e\frac{dq}{x}=k_e\lambda\frac{dx}{x}$$ Integrado la igualdad: $$V=k_e\lambda\int_a^{\ell+a}\frac{dx}{x}=k_e\frac{Q}{\ell}\ln\left(\frac{\ell+a}{a}\right).$$ A partir de esta ecuación podemos obtener una expresión general del potencial en el eje $x$, reemplazando el parámetro $a$ con $x$, a su vez, podemos calcular la componente del campo eléctrio en $x$ mediante $$\begin{align}E_x&=-\frac{\partial V}{\partial x}=-k_e\frac{Q}{\ell}\frac{\partial}{\partial x}\left[\ln\left(\frac{\ell+x}{x}\right)\right]\\&=\frac{k_eQ}{(\ell+x)x}.\end{align}$$ Por tanto, el campo eléctrico en $x=a$ es $$E_x=\frac{k_eQ}{(\ell+a)a}.$$
3. Un anillo de radio $a$ porta una carga total positiva uniformemente distribuida. Calcule el potencial eléctrico debido al anillo en un punto $P$ que se encuentra a una distancia $x$ de su centro, a lo largo del eje central perpendicular al plano del anillo (Fig. 8).

Fig. 8. Potencial eléctrico en $P$ debido a un anillo uniformemente cargado.

Solución: El potencial de campo eléctrico en $P$ debido al diferencial de carga $dq$ del anillo es: $$dV=k_e\frac{dq}{\gamma}$$ en donde $\gamma$ es la distancia del elemento de carga al punto $P$. Para obtener el potencial total en $P$, se integra: $$V=\frac{k_e}{\sqrt{x^2+a^2}}\int dq=\frac{k_eQ}{\sqrt{x^2+a^2}}.$$ Es importante destacar que la componente del campo eléctrico en la dirección $x$ puede calcularse mediante la derivada respecto a $x$ del potencial $$\begin{align}E_x&=-\frac{dV}{dx}=-k_eQ\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\right]\\&=\frac{k_eQx}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}.\end{align}$$
4. Un disco de radio $R$ tiene una densidad de carga superficial uniforme $\sigma$. Calcule el potencial eléctrico en un punto $P$ que se encuentra a lo largo del eje perpendicular central del disco y a una distancia $x$ del centro del disco (Fig. 9).

Fig. 9. Potencial eléctrico en $P$ debido a un disco uniformemente cargado.

Solución: El potencial de campo eléctrico en $P$ debido al diferencial de carga $dq$ del disco es: $$dV=k_e\frac{dq}{\gamma}$$ teniendo en cuenta que el diferencial de carga del disco es $dq=\sigma(2\pi rdr)$ (véase Fig. 10), la integral para determinar el potencial total, toma la siguiente forma: $$V=k_e\int\frac{dq}{\sqrt{r^2+x^2}}=\pi k_e\sigma\int_0^R\frac{2rdr}{\sqrt{r^2+x^2}}=2\pi k_e\sigma\left(\sqrt{x^2+R^2}-x\right).$$ de nuevo el campo eléctrico en $x$ se obtiene derivando: $$\begin{align}E_x&=-\frac{dV}{dx}=-2\pi k_e\sigma\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2+R^2}-x\right)\\&=2\pi k_e\sigma\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right).\end{align}$$ Note que los resultados de 2-4 ya fueron obtenidos en el estudio de los campos eléctricos📋👈

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