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Campos eléctricos

Cuando se dice que los electrones y los protones tienen carga eléctrica, esto quiere decir que poseen una fuerza la cual ejercen en todas las direcciones y que, gracias a ella, una partícula tiene el poder de atraer o rechazar otras partículas.

La carga negativa del electrón y la fuerza ejercida por ésta, se encuentra dirigida hacia adentro y tiene el mismo valor que la carga positiva del protón, cuya fuerza está siempre dirigida hacia afuera. Esto genera dos campos eléctricos contrarios, pero de igual magnitud, por lo cual, los átomos son eléctricamente neutros.

Fig. 1. El átomo de litio.

Para que los átomos experimenten cambios eléctricos, deben estar en un estado descompensado o desequilibrado, y se les conoce como iones. La formación de iones ocurre cuando un átomo gana o pierde uno o varios electrones, lo que da lugar a dos categorías:
  • Ion positivo: se produce cuando hay más protones que electrones, debido a la pérdida de uno o más electrones. Un material que tiende a perder electrones con facilidad es el vidrio, adquiriendo así una carga positiva.
  • Ion negativo: se forma cuando hay más electrones que protones, resultado de la ganancia de uno o más electrones. Un material que tiende a ganar electrones con facilidad es el plástico, quedando cargado negativamente.
Fig. 2. Electricidad positiva y negativa.

Existen tres formas de cargar los objetos: Por frotamiento, contacto e inducción, tal como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

Fig. 3. Tipos de electrización.

También se recomienda usar el siguiente App para entender como una bomba gana electrones.

Applet 1. Electrostática en un globo.

Principio fundamental de la electrostática: Sin importar el procedimiento para la generación de cargas eléctricas, se da por aceptado como principio que:
  • Cargas eléctricas del mismo signo se repelen.
  • Cargas eléctricas de signo opuesto se atraen. 
Si se reconoce que existe repulsión o atracción entre objetos cargados eléctricamente, se está aceptando que existen fuerzas de naturaleza eléctrica.

Clasificación de los materiales: Según la electrostática los materiales se pueden clasificar en;
  • Conductores donde los electrones se mueven libremente.
  • Aislantes donde los electrones no se mueven con libertad.
  • Semiconductores los cuales son una combinación entre un material conductor y un aislante.
Fig. 4. Tipo de materiales según la electrostática.

Ley de la conservación de la carga: Hay varias formadas de enunciar esta ley:
  • La carga eléctrica puede transportarse, pero no puede ser creada o destruida.
  • La cantidad total de carga eléctrica del universo es constante.
  • La carga neta de un sistema aislado permanece constante.
La unidad de carga en el SI, se define como 1 Coulombio (1C), que en términos de la unidad fundamental del electrón equivale a 6.242×1018e. La carga eléctrica está cuantizada, es decir varía en forma discreta, no continua. Se usará la letra Q para representar la carga neta eléctrica en un cuerpo, sea esta positiva o negativa. Por tanto esta se puede calcular mediante la siguiente ecuación: Q=(NpNe)e
En el que Np es el número de protones, Ne es el número de electrones y e es el valor de la unidad básica de carga, 1.60×1019C.

Campo eléctrico y la Ley de Coulomb. El campo eléctrico E en algún punto del espacio se define como la fuerza eléctrica Fe, que actúa sobre una pequeña carga de prueba positiva colocada en dicho punto, dividida entre la magnitud q de la carga de prueba: E=Fq,
donde la fuerza es modelada por la ley de Coulomb la cual establece que la fuerza eléctrica que ejerce una carga puntual q1 sobre la carga de prueba q es F=keqq1r2ˆr1,
aquí r es la distancia entre las dos cargas y ˆr1 es el vector unitario dirigido de q1 hacia la carga de prueba. La constante ke, que se llama constante de Coulomb, tiene el siguiente valor ke=8.988×109Nm2/C2.

Campo eléctrico discreto: Son aquellos cuyo campo eléctrico se genera por un grupo de cargas puntuales. Estos se pueden calcular usando el principio de superposición.

Applet 2. Campo discreto.

Aquí, el campo eléctrico total en algún punto es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos de todas las cargas E=keiqir2iˆri
donde ri es la distancia entre la carga qi y la carga de prueba y ˆri es el vector unitario dirigido de qi hacia la carga de prueba.

Campo eléctrico continuo: 
Son aquellos cuyo campo eléctrico se genera por una distribución de carga continua. Estos se pueden calcular usando el principio de superposición generalizado.

Fig. 6. Carga continua.

Aquí, el campo eléctrico total en algún punto es igual a la integral sobre toda la distribución de carga. Esta es una operación vectorial y debe ser tratada en forma apropiada. E=kelimΔqi0(iΔqir2iˆri)=kedqr2ˆr
o es su forma diferencial dE=kedqr2ˆr
donde dq es la carga en un elemento de la distribución de carga y r es la distancia desde el elemento hasta el punto en cuestión. Para realizar estos cálculos es conveniente el uso del concepto de densidad de carga junto con las siguientes observaciones: 
  • Si una carga Q está uniformemente distribuida en un volumen V, la densidad de carga volumétrica ρ se define como ρQV
    donde ρ está en coulombs por metro cúbico (C/m3).
  • Si una carga Q está uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la densidad de carga superficial σ se define como σQA
    donde σ está en coulombs por metro caudrado (C/m2).
  • Si una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo de una recta de longitud lla densidad de carga linea λ se define como λQl
    donde λ está en coulombs por metro (C/m).
  • Si la carga no está uniformemente distribuida en un volumen, superficie o línea, las cantidades de carga dq en un elemento pequeño de volumen, superficie o longitud son: dq=ρdVdq=σdAdq=λdl

Ejemplos

Campo discreto
1. Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con una masa de 3.0×102kg, cuelgan en equilibrio como se muestra en la Fig. 7. La longitud L de cada cuerda es 0.15m y el ángulo θ es 5. Encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera.

Fig. 7. Dos esferas idénticas, cada una con la misma carga q, suspendidas en equilibrio y diagrama de cuerpo libre para la esfera de la izquierda.

Solución: A partir del modelo de la partícula en equilibrio, iguale a cero la fuerza neta en la esfera de la izquierda para cada componente:Fx=TsinθFe=0Tsinθ=FeFy=Tcosθmg=0Tcosθ=mg
Dividiendo las ecuaciones para determinar Fe:tanθ=FemgFe=mgtanθ
De la definición de sinθ en la Fig. 6 se tiene que a=Lsinθ
Aplicando el modulo de la ley de Coulomb para la carga q en cada esfera y sustituyendo los valores numéricos: Fe=keq2(2a)2q=2aFekeq=2Lsinθmgtanθke=4.42×108C

Campo continuo
2. Una barra de longitud , tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ y una carga total Q (Ver Fig. 8). Calcule el campo eléctrico en un punto P que se ubica a lo largo del eje largo de la barra y a una distancia a desde un extremo. 

Fig. 8. Campo eléctrico en P debido a una barra uniformemente cargada a lo largo del eje x.

Solución: El diferencial de campo eléctrico en P debido al segmento de la barra de carga dq es:dE=kedqx2=keλdxx2
Integrado la igualdad: E=keλ+aadxx2=keQ[1x]+aa=keQ(+a)a

3. Un anillo de radio a porta una carga total positiva uniformemente distribuida. Calcule el campo eléctrico debido al anillo en un punto P que se encuentra a una distancia x de su centro, a lo largo del eje central perpendicular al plano del anillo (Fig. 9).

Fig. 9. Campo eléctrico en P debido a un anillo uniformemente cargado.

Solución: Debido a la simetría cónica del campo E en el punto P generado por el anillo, la componente Ey=0. Por tanto, basta con calcular la componente Ex del campo eléctrico: cosθ=dExdEdEx=kedqr2cosθ
Por otro lado, aplicando trigonometría básica  cosθ=xr=xx2+a2
Reemplazando tenemos:dEx=kexdq(x2+a2)3/2
Finalmente, integrando y teniendo en cuenta que x es constante respecto a la integralEx=kex(x2+a2)3/2dq=kexQ(x2+a2)3/2
 
4. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme σ. Calcule el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje perpendicular central del disco y a una distancia x del centro del disco (Fig. 10).

Fig. 10. Campo eléctrico en P debido a un disco uniformemente cargado.

Solución: Debido a la simetría cónica del campo E en el punto P, basta con calcular la componente Ex del campo eléctrico: dEx=kedqγ2cosθ
Aquí γ corresponde a la distancia que hay desde el diferencial de carga dq al punto P. Ahora, aplicando trigonometría básica  cosθ=xγ=xx2+r2donde0rR
Reemplazando tenemos:dEx=kexdq(x2+r2)3/2
donde el diferencial de carga del anillo (véase Fig. 10) es dq=σ(2πrdr). Ahora, integrando para determinar el campo resultante, se tiene:Ex=kexdq(x2+r2)3/2=kexπσR02rdr(x2+r2)3/2=2πkeσ(1xx2+R2)
Ahora, si x>>R se puede usarxx2+R21R22x2+Ex=keQx2
Note que la carga total del disco es Q=σπR2.


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