Notas de Física: Campos eléctricos

Cuando se dice que los electrones y los protones tienen carga eléctrica, esto quiere decir que poseen una fuerza la cual ejercen en todas las direcciones y que, gracias a ella, una partícula tiene el poder de atraer o rechazar otras partículas.

La carga negativa del electrón y la fuerza ejercida por ésta, se encuentra dirigida hacia adentro y tiene el mismo valor que la carga positiva del protón, cuya fuerza está siempre dirigida hacia afuera. Esto genera dos campos eléctricos contrarios, pero de igual magnitud, por lo cual, los átomos son eléctricamente neutros.

Fig. 1. El átomo de litio.

Para que los átomos experimenten cambios eléctricos, deben estar en un estado descompensado o desequilibrado, y se les conoce como iones. La formación de iones ocurre cuando un átomo gana o pierde uno o varios electrones, lo que da lugar a dos categorías:

Ion positivo: se produce cuando hay más protones que electrones, debido a la pérdida de uno o más electrones. Un material que tiende a perder electrones con facilidad es el vidrio, adquiriendo así una carga positiva.
Ion negativo: se forma cuando hay más electrones que protones, resultado de la ganancia de uno o más electrones. Un material que tiende a ganar electrones con facilidad es el plástico, quedando cargado negativamente.

Fig. 2. Electricidad positiva y negativa.

Existen tres formas de cargar los objetos: Por frotamiento, contacto e inducción, tal como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

Fig. 3. Tipos de electrización.

También se recomienda usar el siguiente App para entender como una bomba gana electrones.

Applet 1. Electrostática en un globo.

Principio fundamental de la electrostática: Sin importar el procedimiento para la generación de cargas eléctricas, se da por aceptado como principio que:

Cargas eléctricas del mismo signo se repelen.
Cargas eléctricas de signo opuesto se atraen.

Si se reconoce que existe repulsión o atracción entre objetos cargados eléctricamente, se está aceptando que existen fuerzas de naturaleza eléctrica.

Clasificación de los materiales: Según la electrostática los materiales se pueden clasificar en;

Conductores donde los electrones se mueven libremente.
Aislantes donde los electrones no se mueven con libertad.
Semiconductores los cuales son una combinación entre un material conductor y un aislante.

Fig. 4. Tipo de materiales según la electrostática.

Ley de la conservación de la carga: Hay varias formadas de enunciar esta ley:

La carga eléctrica puede transportarse, pero no puede ser creada o destruida.
La cantidad total de carga eléctrica del universo es constante.
La carga neta de un sistema aislado permanece constante.

La unidad de carga en el SI, se define como 1 Coulombio (1C), que en términos de la unidad fundamental del electrón equivale a $6.242\times 10^{18}e^-$. La carga eléctrica está cuantizada, es decir varía en forma discreta, no continua. Se usará la letra $Q$ para representar la carga neta eléctrica en un cuerpo, sea esta positiva o negativa. Por tanto esta se puede calcular mediante la siguiente ecuación: $$Q=(Np-N_e)e^- $$ En el que $N_p$ es el número de protones, $N_e$ es el número de electrones y $e^-$ es el valor de la unidad básica de carga, $1.60\times 10^{-19}C$.

Campo eléctrico y la Ley de Coulomb. El campo eléctrico $\vec{E}$ en algún punto del espacio se define como la fuerza eléctrica $\vec{F}_e$, que actúa sobre una pequeña carga de prueba positiva colocada en dicho punto, dividida entre la magnitud $q_\circ$ de la carga de prueba: $$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_\circ},$$donde la fuerza es modelada por la ley de Coulomb la cual establece que la fuerza eléctrica que ejerce una carga puntual $q_1$ sobre la carga de prueba $q_\circ$ es $$\vec{F}=k_e\frac{q_\circ q_1}{r^2}\hat{r}_{1},$$aquí $r$ es la distancia entre las dos cargas y $\hat{r}_{1}$ es el vector unitario dirigido de $q_1$ hacia la carga de prueba. La constante $k_e$, que se llama constante de Coulomb, tiene el siguiente valor $$k_e=8.988\times 10^9 N\cdot m^2 /C^2.$$

Campo eléctrico discreto: Son aquellos cuyo campo eléctrico se genera por un grupo de cargas puntuales. Estos se pueden calcular usando el principio de superposición.

Applet 2. Campo discreto.

Aquí, el campo eléctrico total en algún punto es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos de todas las cargas $$\vec{E}=k_e\sum_{i}\frac{q_i}{r_i^2}\hat{r}_{i}$$donde $r_i$ es la distancia entre la carga $q_i$ y la carga de prueba y $\hat{r}_{i}$ es el vector unitario dirigido de $q_i$ hacia la carga de prueba.

Campo eléctrico continuo: Son aquellos cuyo campo eléctrico se genera por una distribución de carga continua. Estos se pueden calcular usando el principio de superposición generalizado.

Fig. 6. Carga continua.

Aquí, el campo eléctrico total en algún punto es igual a la integral sobre toda la distribución de carga. Esta es una operación vectorial y debe ser tratada en forma apropiada. \begin{align}\vec{E}&=k_e\lim_{\Delta q_i\to0}\left(\sum_i\frac{\Delta q_i}{r_i^2}\hat{r}_i\right)\\&=k_e\int\frac{dq}{r^2}\hat{r}\end{align}o es su forma diferencial $$d{\vec E}=k_e\frac{dq}{r^2}\hat{r}$$ donde $dq$ es la carga en un elemento de la distribución de carga y $r$ es la distancia desde el elemento hasta el punto en cuestión. Para realizar estos cálculos es conveniente el uso del concepto de densidad de carga junto con las siguientes observaciones:

Si una carga $Q$ está uniformemente distribuida en un volumen $V$, la densidad de carga volumétrica $\rho$ se define como $$\rho\equiv\frac{Q}{V}$$ donde $\rho$ está en coulombs por metro cúbico $(C/m^3)$.
Si una carga $Q$ está uniformemente distribuida sobre una superficie de área $A$, la densidad de carga superficial $\sigma$ se define como $$\sigma\equiv\frac{Q}{A}$$donde $\sigma$ está en coulombs por metro caudrado $(C/m^2)$.
Si una carga $Q$ está uniformemente distribuida a lo largo de una recta de longitud $l$, la densidad de carga linea $\lambda$ se define como $$\lambda\equiv\frac{Q}{l}$$donde $\lambda$ está en coulombs por metro $(C/m)$.
Si la carga no está uniformemente distribuida en un volumen, superficie o línea, las cantidades de carga $dq$ en un elemento pequeño de volumen, superficie o longitud son: $$dq=\rho dV\hspace{2cm}dq=\sigma dA\hspace{2cm}dq=\lambda dl$$

Ejemplos

Campo discreto

1. Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con una masa de $3.0\times 10^{-2}kg$, cuelgan en equilibrio como se muestra en la Fig. 7. La longitud $L$ de cada cuerda es $0.15\,m$ y el ángulo $\theta$ es $5^\circ$. Encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera.

Fig. 7. Dos esferas idénticas, cada una con la misma carga $q$, suspendidas en equilibrio y diagrama de cuerpo libre para la esfera de la izquierda.

Solución: A partir del modelo de la partícula en equilibrio, iguale a cero la fuerza neta en la esfera de la izquierda para cada componente:\begin{align}\sum F_x&=T\sin{\theta}-F_e=0\hspace{1cm}\Longrightarrow \hspace{1cm}T\sin{\theta}=F_e\\\sum F_y&=T\cos{\theta}-mg=0\hspace{1cm}\Longrightarrow \hspace{1cm}T\cos{\theta}=mg\end{align} Dividiendo las ecuaciones para determinar $F_e$:\begin{align}\tan{\theta}=\frac{F_e}{mg}\hspace{1cm}\Longrightarrow \hspace{1cm}F_e=mg\tan{\theta}\end{align}De la definición de $\sin{\theta}$ en la Fig. 6 se tiene que \begin{align}a=L\sin{\theta}\end{align} Aplicando el modulo de la ley de Coulomb para la carga $q$ en cada esfera y sustituyendo los valores numéricos: \begin{align}F_e=k_e\frac{q^2}{(2a)^2}\hspace{1cm}\Longrightarrow \hspace{1cm}q&=2a\sqrt{\frac{F_e}{k_e}}\\q&=2L\sin{\theta}\sqrt{\frac{mg\tan{\theta}}{k_e}}=4.42\times 10^{-8}C\end{align}

Campo continuo

2. Una barra de longitud $\ell$, tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud $\lambda$ y una carga total $Q$ (Ver Fig. 8). Calcule el campo eléctrico en un punto $P$ que se ubica a lo largo del eje largo de la barra y a una distancia $a$ desde un extremo.

Fig. 8. Campo eléctrico en $P$ debido a una barra uniformemente cargada a lo largo del eje $x$.

Solución: El diferencial de campo eléctrico en $P$ debido al segmento de la barra de carga $dq$ es:\begin{align}dE=k_e\frac{dq}{x^2}=k_e\lambda\frac{dx}{x^2}\end{align}Integrado la igualdad: \begin{align}E=k_e\lambda\int_a^{\ell+a}\frac{dx}{x^2}=k_e\frac{Q}{\ell}\left[-\frac{1}{x}\right]_a^{\ell+a}=\frac{k_eQ}{(\ell+a)a}\end{align}

3. Un anillo de radio $a$ porta una carga total positiva uniformemente distribuida. Calcule el campo eléctrico debido al anillo en un punto $P$ que se encuentra a una distancia $x$ de su centro, a lo largo del eje central perpendicular al plano del anillo (Fig. 9).

Fig. 9. Campo eléctrico en $P$ debido a un anillo uniformemente cargado.

Solución: Debido a la simetría cónica del campo $\vec{E}$ en el punto $P$ generado por el anillo, la componente $E_y=0$. Por tanto, basta con calcular la componente $E_x$ del campo eléctrico: \begin{align}\cos{\theta}=\frac{dE_x}{dE}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}dE_x=k_e\frac{dq}{r^2}\cos{\theta}\end{align}Por otro lado, aplicando trigonometría básica $$\cos{\theta}=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$$Reemplazando tenemos:$$dE_x=k_e\frac{xdq}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$Finalmente, integrando y teniendo en cuenta que $x$ es constante respecto a la integral$$E_x=k_e\frac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}}\int dq=\frac{k_exQ}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

4. Un disco de radio $R$ tiene una densidad de carga superficial uniforme $\sigma$. Calcule el campo eléctrico en un punto $P$ que se encuentra a lo largo del eje perpendicular central del disco y a una distancia $x$ del centro del disco (Fig. 10).

Fig. 10. Campo eléctrico en $P$ debido a un disco uniformemente cargado.

Solución: Debido a la simetría cónica del campo $\vec{E}$ en el punto $P$, basta con calcular la componente $E_x$ del campo eléctrico: \begin{align}dE_x=k_e\frac{dq}{\gamma^2}\cos{\theta}\end{align}Aquí $\gamma$ corresponde a la distancia que hay desde el diferencial de carga $dq$ al punto $P$. Ahora, aplicando trigonometría básica $$\cos{\theta}=\frac{x}{\gamma}=\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}\hspace{1.5cm}\text{donde}\hspace{1.5cm}0\leq r\leq R$$Reemplazando tenemos:$$dE_x=k_e\frac{xdq}{(x^2+r^2)^{3/2}}$$donde el diferencial de carga del anillo (véase Fig. 10) es $dq=\sigma(2\pi rdr)$. Ahora, integrando para determinar el campo resultante, se tiene:\begin{align}E_x&=k_ex\int\frac{dq}{(x^2+r^2)^{3/2}}\\&=k_ex\pi\sigma\int_0^R\frac{2r\,dr}{(x^2+r^2)^{3/2}}\\&=2\pi k_e\sigma\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\end{align}Ahora, si $x>>R$ se puede usar$$\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\approx 1-\frac{R^2}{2x^2}+\cdots\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}E_x=\frac{k_eQ}{x^2}$$Note que la carga total del disco es $Q=\sigma \pi R^2$.

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