Leyes de Newton

En la obra suprema de Newton titulada Philosophiae Naturalis Principia Mathematica se encuentran las tres leyes del movimiento de la mecanica clasica.

Ley I. Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.

Vídeo 1. Ley de inercia.

Ley II. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la linea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

Applet 1. Segunda ley de Newton.

Ley III. Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria. O sea, las acciones mutuas de los cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.

Fig. 1. Ley de acción y reacción.

A continuación, se propone el procedimiento que se debe seguir para solucionar problemas de mecánica que involucran leyes de Newton:

1. Conceptualizar. Dibuje un diagrama simple y nítido del sistema. Para cada objeto en el sistema establecer ejes coordenados convenientes, identificando todas las fuerzas que actúan sobre el objeto en cuestión. Estas pueden incluir la gravedad, la fricción, la tensión de cuerdas o resortes, fuerzas aplicadas externamente, entre otras.
   
2. Categorizar. Si un componente de aceleración para un objeto es cero, el objeto se representa como una partícula en equilibrio en esta dirección y $\sum F =0$. Si no, el objeto se representa como una partícula bajo una fuerza neta en esta dirección y $\sum F=ma$.
   
3. Analizar. Aísle el objeto cuyo movimiento se analizará. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto. Para sistemas que contengan más de un objeto, dibuje por separado diagramas de cuerpo libre para cada objeto. En el diagrama de cuerpo libre no incluya fuerzas que el objeto ejerce sobre su entorno.
      Encuentre las componentes de las fuerzas a lo largo de los ejes coordenados. Aplique el modelo apropiado de la etapa Categorizar para cada dirección. Compruebe sus dimensiones para asegurarse de que todos los términos tienen unidades de fuerza.
   
4. Finalizar. Resuelva el sistema de ecuaciones. Recuerde que debe tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas para obtener una solución completa y única. Confirme que los resultados tengan sentido físico y sean consistentes con las leyes de Newton y las condiciones dadas en el problema. También compruebe las predicciones de soluciones para valores extremos de las variables. Al hacerlo, con frecuencia puede detectar errores en sus resultados.

Este algoritmo proporciona un enfoque sistemático para abordar problemas de mecánica utilizando las leyes de Newton. Recuerda que la práctica y la experiencia son fundamentales para desarrollar habilidades sólidas en la aplicación de estas leyes en la resolución de problemas. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1. Un saco de cemento de masa $m$ cuelga en equilibrio de tres alambres, como se muestra en la Fig. 2. Dos de los alambres forman ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ con la horizontal.

Fig. 2. Peso colgante.

Demuestre que las tensiones en los alambre son $$T_1=\frac{\omega\cos{\theta_2}}{\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)}\quad \text{y}\quad T_2=\frac{\omega\cos{\theta_1}}{\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)}$$Solución Supongamos que los cables no se rompen y que nada se mueve, de esta manera procedemos a dibujar el diagrama de cuerpo libre,

Fig. 3. Diagrama de fuerzas.

donde se elijen las coordenadas como se muestra en la Fig. 3 y se descomponen sus fuerzas:$$\begin{array}{c|c|c}\text{Fueza} & \text{Componente}\,\,x & \text{Componente}\,\,y\\\hline T_1  & -T_1\cos{\theta_1} & T_1\sin{\theta_1}\\T_2  & T_2\cos{\theta_2} &T_2\sin{\theta_2} \\T_3  &  0 &  -mg\end{array}$$Aplicando el modelo de partícula en equilibrio al nudo $\vec{F}_T=\vec{T}_1+\vec{T}_2+\vec{T}_3=0$, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:\begin{align}F_{Tx}&:-T_1\cos{\theta_1}+T_2\cos{\theta_2}=0\\F_{Ty}&:T_1\sin{\theta_1}+T_2\sin{\theta_2}-mg=0\end{align}Por último, se resuelve el sistema. De la ecuación $F_{Tx}$ podemos despejar a $T_2$:$$T_2=\left(\frac{\cos{\theta_1}}{\cos{\theta_2}}\right)T_1$$ y reemplazando este resultado en la ecuación $F_{Ty}$:
\begin{align}T_1\sin{\theta_1}+\left(\frac{\cos{\theta_1}}{\cos{\theta_2}}\right)T_1\sin{\theta_2}&=mg\\T_1\left[\frac{\cos{\theta_2}\sin{\theta_1}+\cos{\theta_1}\sin{\theta_2}}{\cos{\theta_2}}\right]&=mg\end{align}podemos hallar a $T_1$ teniendo en cuenta el seno de la suma de dos ángulos para simplificar el resultado $$T_1=\frac{mg\cos\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}T_2=\frac{mg\cos\theta_1}{\sin(\theta_1+\theta_2)}$$Con esto se ha programado en geogebra el siguiente appled:

Applet 2. Masa colgante.

Ejemplo 2. Un alambre horizontal sostiene una esfera uniforme sólida de masa $m$, sobre una rampa inclinada que se eleva $35^\circ$ por arriba de la horizontal. La superficie de la rampa es perfectamente lisa, y el alambre se coloca en el centro de la esfera, como se indica en la Fig. 4.

Fig. 4 Esfera en equilibrio.

• ¿Qué tan fuerte la superficie de la rampa empuja a la esfera? 
• ¿Cuál es la tensión en el alambre? 

Solución: Al identificar todas las fuerzas sobre el diagrama de cuerpo libre, se tiene:

Fig. 5. Diagrama de fuerzas.

Al descomponer sus fuerzas:$$\begin{array}{c|c|c}\text{Fueza} & \text{Componente}\,\,x & \text{Componente}\,\,y\\\hline P  & -mg\sin{\theta} & -mg\cos{\theta}\\T  & T\cos{\theta} &-T\sin{\theta}\\N  & 0 &N\end{array}$$Aplicando el modelo de partícula en equilibrio en el centro de la esfera,$$\vec{F}_T=\vec{P}+\vec{T}+\vec{N}=0,$$ se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:\begin{align}F_{Tx}&:T\cos{\theta}-mg\sin{\theta}=0\\F_{Ty}&:N-T\sin{\theta}-mg\cos{\theta}=0.\end{align}Por último, se resuelve el sistema. De la ecuación $F_{Tx}$ podemos despejar a $T$:$$T=mg\tan{\theta},$$y reemplazando este resultado en la ecuación $F_{Ty}$:\begin{align}N=mg\cos{\theta}+mg\tan{\theta}\sin{\theta}=\frac{mg}{\cos{\theta}}.\end{align}Tenga en cuenta que la fuerza normal es mayor que el peso y aumenta sin límite a medida que aumenta el ángulo de la rampa hacia $90^\circ$.