Ejercicios Resueltos I - Leyes de Newton

Ejercicio 1. El bloque $A$ de la Fig. 3 tiene una masa $m_A$. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie donde descansa es $\mu_k$. Si el peso colgante $w$ de masa $m$ está en equilibrio.

• Calcule la fuerza de fricción ejercida sobre el bloque $A$.
• Determine la masa máxima $m$ con el cual el sistema permanecerá en equilibrio.

Fig. 1. Sistema de masas en reposo.

Solución. Como el sistema está en equilibrio estático, podemos aplicar la primera ley de Newton al bloque $A$, al peso colgante y hasta el nudo donde se unen las cuerdas. Teniendo en cuanta que las variables objetivo son las dos fuerzas.

Fig. 2. Diagrama de cuerpo libre.

Del diagrama de cuerpo libre para el bloque colgante, se tiene: $$\begin{align}\sum F_y=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}T_3-mg&=0\\T_3&=mg.\end{align}$$ Para el nudo tenemos $$\begin{align}\sum F_y=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}T_2\sin{\theta}-T_3&=0\\T_2&=\frac{mg}{\sin{\theta}}.\end{align}$$ $$\begin{align}\sum F_x=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}T_2\cos{\theta}-T_1&=0\\T_1&=T_2\cos{\theta}=mg\cot{\theta}.\end{align}$$ Y para el bloque $A$ se tiene: $$\begin{align}\sum F_x=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}F_r-T_1&=0\\Fr&=mg\cot{\theta}.\end{align}$$ Como ya se sabe $F_r=\mu_k m_Ag$ y de este último resultado podemos despejar la masa colgante $m$ $$m=\mu_k m_A\tan{\theta}$$ la cual corresponde a la máxima masa colgante para que el sistema este en reposo.

Ejercicio 2. En la Fig. 3 un obrero levanta un peso $w=mg$ tirando hacia abajo de una cuerda con una fuerza $F$. La polea superior está unida al techo con una cadena; en tanto que la polea inferior está unida al peso con otra cadena. En términos de $w$, determine la tensión en cada cadena y la magnitud de la fuerza $F$ si el peso sube con rapidez constante. Incluya el (los) diagrama(s) de cuerpo libre que usó para obtener sus respuestas. Suponga que los pesos de la cuerda, las poleas y las cadenas son insignificantes.

Fig. 3. Doble polea.

Solución. Como el sistema está en equilibrio dinámico, podemos aplicar la primera ley de Newton al peso $w$, a la polea móvil y al punto de fuerza de la última cuerda. Teniendo en cuanta que la variable objetivo es la fuerza $F$.

Fig. 4. Diagrama de cuerpo libre.

Del diagrama de cuerpo libre para el bloque colgante, se tiene: $$\begin{align}\sum F_y=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}T-mg&=0\\T&=mg.\end{align}$$ Para la primera polea con $m_{p_1}\to 0$, tenemos $$\begin{align}\sum F_y=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}2T_1-m_{p_1}g-T&=0\\T_1&=\frac{mg}{2}.\end{align}$$ Y para el punto de fuerza: $$\begin{align}\sum F_y=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}F-T_1&=0\\F&=\frac{mg}{2}.\end{align}$$ Se puede concluir que este sistema ofrece una ventaja mecánica al levantar un peso determinado, ya que solo requiere la mitad del peso colgante para mantener una velocidad constante durante el levantamiento. Sin embargo, necesita recoger el doble de cuerda.

Fig. 5. Sistema de poleas.

En general podemos hacer un análisis similar sobre el sistema de la Fig. 5 y concluir que $$F=\frac{mg}{2^n}$$ donde $n$ corresponde al número de poleas en movimiento, en otras palabras, este sistema ofrece una ventaja mecánica al levantar un peso determinado, ya que solo requiere $1/2^n$ parte del peso colgante para mantener una velocidad constante durante el levantamiento. Sin embargo, necesita recoger un factor de $2^n$ de cuerda.

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