Movimiento en presencia de fuerzas resistivas

Cuando un objeto se mueve con rapidez baja a través de un medio viscoso, experimenta una fuerza de resistencia que es proporcional a la velocidad del objeto. Es decir: $$\vec{F}_r=-b\vec{v}$$donde $b$ es una constante que depende de las propiedades del medio y de la forma y dimensiones del objeto. Por ejemplo en el caso de una esfera de radio $r$, se encuentra que $b$ es proporcional a $r$.

Fig. 1. Esfera que cae en un fluido

Si una esfera de masa $m$ se suelta desde el reposo en un fluido, como en la Fig. 1 y suponiendo que las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son la resistencia y el peso. Entonces, apicando la segunda ley de Newton al movimiento vertical y eligiendo positiva la dirección hacia abajo, se obtiene: $$F_y=m\frac{dv}{dt}=mg-bv$$ Simplificando la expresión anterior $$\frac{dv}{dt}=g-\frac{b}{m}v$$Inicialmente, cuando $v=0$ la magnitud de la fuerza resistiva también es cero y la aceleración de la esfera es simplemente $g$. Conforme $t$ aumenta, la magnitud de la fuerza resistiva aumenta y la aceleración disminuye. La aceleración tiende a cero cuando la magnitud de la fuerza resistiva se aproxima al peso de la esfera, por lo que la fuerza neta sobre la esfera es cero. En esta situación la rapidez de la esfera tiende a su rapidez terminal $v_T$. Esto se produce cuando $$g-\frac{b}{m}v_T=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}v_T=\frac{mg}{b}$$Ahora, la primera integral de la segunda ley de Newton con las condiciones iniciales ($t=0, v=0$) nos arroja la ecuación de velocidad en función del tiempo, dada por: $$v=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)=v_T\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$aquí la constante de tiempo $\tau=m/b$ es el tiempo en el que la esfera liberada del reposo alcanza el 63.2% de su rapidez terminal. Es decir, cuando $t=\tau$, la velocidad $v=0.632v_T$ (ver Fig. 2).

Applet 1. Bola cayendo en un fluido

Finalmente, calculando la segunda integral para obtener la ecuación de movimiento en función del tiempo, con las condiciones iniciales ($t=0, y=y_\circ$), obtenemos: $$y=y_\circ-v_T\left[t+\tau\left(e^{-t/\tau}-1\right)\right]$$en donde $y_\circ$, corresponde a la altura de la columna del fluido. 

Fig. 2. Velocidad terminal

Tiempo de caída: Es el tiempo que tarda el objeto en caer hasta el fondo del recipiente. Se puede determinar de forma analítica mediante la función $W$ de Lambert aplicada en la ecuación de movimiento en $y=0$. Llegando de esta manera al siguiente resultado: $$t_f=\tau\left[W\left(-e^{-u}\right)+u\right]\hspace{1cm}\text{donde}\hspace{1cm}u=1+\frac{y_\circ}{\tau v_T}$$Nota: Sobre un objeto sumergido también actúa una fuerza de flotación. Esta fuerza es constante y su magnitud es igual al peso del líquido desplazado. Esta fuerza sólo cambiará el peso de la esfera en un factor constante, de modo que aquí se ignorará dicha fuerza. En la simulación 1 se usó el tiempo de caída para determinar el tiempo exacto que necesita el objeto en llegar al fondo del recipiente. 

Video 1. Esferas que caen en un fluido viscoso

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad en un tiro parabólico. Las fuerzas que actúan sobre un proyectil de masa $m$ que se dispara desde algún punto con velocidad $v_\circ$, formando un ángulo $\theta_\circ$ con la horizontal, son:

• El peso $mg$ que siempre se opone al movimiento vertical del proyectil. 
• La fuerza de rozamiento del aire ($F_r\propto mv$), que está en sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). $\vec{F}_r=-mb\vec{v}$ donde $b$ representa la constante de proporcionalidad.
  
  

Applet 2. Tiro parabólico con rozamiento proporcional a la velocidad  

Por tanto, la segunda ley de Newton para determinar las ecuaciones del movimiento del proyectil, toma la siguiente forma: \begin{align}m\frac{dv_x}{dt}=-mbv_x \hspace{2cm}\text{y}\hspace{2cm}m\frac{dv_y}{dt}=-mg-mbv_y\end{align}La primera integral de estas ecuaciones con condiciones iniciales ($t=0, v_x=v_{\circ x}, v_y=v_{\circ y}$), es:\begin{align} \frac{dx}{dt}=v_{\circ x}e^{-bt}\hspace{2cm}\text{y}\hspace{2cm}\frac{dy}{dt}=\left(\frac{g}{b}+v_{\circ y}\right)e^{-bt}-\frac{g}{b}\end{align}Integrando de nuevo con las condiciones iniciales ($t=0, x=x_\circ, y=y_\circ$), obtenemos las ecuaciones de movimiento en los dos ejes: \begin{align} x(t)=\frac{v_{\circ x}}{b}\left(1-e^{-bt}\right)+x_\circ\hspace{2cm}\text{y}\hspace{2cm}y(t)=\frac{1}{b}\left(\frac{g}{b}+v_{\circ y}\right)\left(1-e^{-bt}\right)-\frac{g}{b}t+y_\circ\end{align}Recuerde que las velocidades iniciales en los ejes son: $$v_{\circ x}=v_\circ \cos{\theta_\circ}\hspace{1cm}\text{y}\hspace{1cm}v_{\circ y}=v_\circ \sin{\theta_\circ}$$Tiempo de vuelo. Se define como el tiempo que tarda el proyectil desde que es disparado hasta que llega al suelo, este se puede calcular de forma analítica mediante la función $W$ de Lambert aplicada en la ecuación de movimiento vertical en $y=0$. Llegando de esta manera al siguiente resultado: \begin{align}t_v=\frac{1}{b}\left[W\left(-ue^{-u'}\right)+u'\right]\end{align}de donde$$u=1+\frac{b\,v_{\circ y}}{g}\hspace{1.5cm}\text{y}\hspace{1.5cm}u'=u+\frac{b^2\,y_\circ}{g}$$Alcance del proyectil. Dado el tiempo de vuelo $t_v$, calculamos el alcance horizontal del proyectil que denominamos $R$, es decir:$$R=x(t_v)$$Este cálculo lo podemos ver en la applet 2.

Altura máxima. En la posición de máxima altura del proyectil, la componente vertical de la velocidad es, $v_y=dy/dt=0$, despejamos de aquí el tiempo, $$t_m=\frac{1}{b}\ln{u}$$ y se introduce en la expresión de $x(t)$ e $y(t)$ para obtener el punto $$M=(x(t_m),y(t_m))$$ tal como se muestra en la applet 2.

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1. Universidad del País Vasco. (n.d.). La fuerza de rozamiento en el flujo parabólico. Recuperado de htttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/fluidos/parabolico/parabolico.html.
2. C A Morales et al 2023 Eur. J. Phys. 44 065003.