Función W de Lambert

Vídeo 1. Como construir la función de $W$ de Lambert en Geogebra

Se desea despejar el valor de $x$ de la siguiente ecuación: $$a^{bx+c}=dx+f,$$ para ello se debe usar el siguiente cambio de variable $$-t=bx+\frac{bf}{d}.$$ Por tanto, la ecuación toma la siguiente forma: $$\begin{align}a^{-t-\frac{bf}{d}+c}=-\frac{d}{b}t\hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm}-\frac{b}{d}a^{c-\frac{bf}{d}}=ta^t,\end{align}$$ teniendo en cuenta que $a=e^{\ln{a}}$, multiplicando por $\ln{a}$ y formado la variable $z=t\ln{a}$, se tiene: $$-\frac{b\ln{a}}{d}\,a^{c-\frac{bf}{d}}=ze^z\hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm}x=-\frac{1}{b\ln{a}}W\left(-\frac{b\ln{a}}{d}\,a^{c-\frac{bf}{d}} \right)-\frac{f}{d}.$$