Conservación de la circulación

La integral

$$\Gamma=\oint_C\vec{v}\cdot d\vec{r}$$ extendida a lo largo de cierto contorno cerrado se denomina circulación de la velocidad alrededor de dicho contorno.

Consideremos un contorno cerrado dibujado en el fluido en un instante determinado. Supongamos que sea un contorno fluido, es decir, compuesto por partículas fluidas que están sobre él mismo. En el curso del tiempo estas partículas se mueven y el contorno se mueve con ellas. Investiguemos lo que le ocurre a la circulación de la velocidad con el tiempo. Al calcular la derivada temporal bajo el signo de la integral debemos derivar no solamente a $\vec{v}$, sino también a $d\vec{r}$. Además, se debe tener en cuenta que $\vec{v}\cdot d\vec{v}=\frac{1}{2}d\left(v^2\right)$. Por tanto: $$\begin{align}\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_C\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec{r}+\frac{1}{2}\oint_C d(v^2)\end{align}$$ La integral de una derivada total a lo largo de un contorno cerrado es siempre cero. Por consiguiente, la segunda integral se anula dejando $$\begin{align}\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_C\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec{r}\end{align}$$ Aplicando la ecuación de Euler tenemos $$\begin{align}\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_C\left(-\frac{1}{\rho}\nabla P+\vec{F}\right)\cdot d\vec{r}\end{align}$$ Ahora, suponiendo que la fuerza exterior por unidad de masa es conservativa $\vec{F}=\nabla\phi$ y aplicando el teorema de Stokes tenemos: $$\begin{align}\oint_C\nabla\left(\phi-\frac{1}{\rho}P\right)\cdot d\vec{r}=\int_{\partial V_\circ}\nabla\times\nabla\left(\phi-\frac{1}{\rho}P\right)\cdot d\vec{A}=0\end{align}$$ Así pues, $$\oint_C\vec{v}\cdot d\vec{r}=\text{constante}$$ Por consiguiente, en un fluido ideal, la circulación de la velocidad a lo largo de un contorno fluido cerrado es constante en el tiempo (este resultado se le conoce como teorema de Kelvin o ley de conservación de la circulación)