Variación de la presión con la profundidad

La componente normal de una fuerza que actúa sobre una superficie, por unidad de área, se llama esfuerzo normal, y la componente tangencial de una fuerza que actúa sobre una superficie, por unidad de área, se llama esfuerzo cortante (Fig. 1). En un fluido en reposo, el esfuerzo normal se llama presión.$$\text{Esfuerzo normal}\quad\sigma=\frac{dF_n}{dA}\hspace{1.5cm}\text{y}\hspace{1.5cm}\text{Esfuerzo cortante}\quad\tau=\frac{dF_t}{dA}$$

Fig. 1. Diferencial de fuerza aplicado a un diferencial de área.

Las paredes del recipiente no ejercen el esfuerzo cortante al fluido en reposo y, de este modo, un fluido en reposo se encuentra en un estado de cero esfuerzo cortante. Cuando se quitan las paredes o se inclina un recipiente con líquido, se desarrolla una fuerza cortante y el líquido salpica o se mueve hasta formar una superficie libre horizontal.

En un líquido se pueden mover cantidades grandes de moléculas en relación con las otras, pero el volumen permanece relativamente constante debido a las fuertes fuerzas de cohesión entre ellas. Como resultado, un líquido toma la forma del recipiente que lo contiene y forma una superficie libre (Fig. 2). Por otra parte, un gas se expande hasta que encuentra las paredes del recipiente y llena el espacio completo del que dispone. Esto se debe a que las moléculas de un gas están espaciadas con amplitud y las fuerzas de cohesión entre ellas son débiles. A diferencia de los líquidos, los gases no pueden formar una superficie libre.

Fig. 2. Superficie libre.

La fuerza ejercida por un líquido en equilibrio es normal a la superficie del recipiente que lo contiene o a la superficie de un sólido sumergido en él. La siguiente gráfica (Fig. 1) muestra un diagrama de fuerzas de este hecho.

Fig. 1. Campo vectorial de fuerza originado por un fluido en reposo sobre distintos cuerpos sumergidos.

Teniendo en cuenta lo anterior, consideremos un fluido en reposo dentro de un recipiente Fig. 2. En primer lugar, se observa que todos los puntos que se encuentran a la misma profundidad deben estar a la misma presión; si no fuera así, un elemento dado del fluido no estaría en equilibrio. Seleccionemos ahora una porción del fluido contenido dentro de un cilindro imaginario, cuya área de sección transversal es $A$ y altura $dy$.

Fig. 2. Diagrama de cuerpo libre sobre un diferencial de fluido.
 

donde el diferencial de peso es $dw=gdm=g\rho dV=g\rho A dy$ y por tanto \begin{align}\frac{dp}{dy}=-\rho g.\end{align} Si $p_1$ y $p_2$ son las presiones en las alturas $y_1$ y $y_2$, por arriba del nivel de referencia, tal como se muestra en la siguiente gráfica (Fig. 3) 

Fig. 3. Presión en función de la profundidad. 

entonces, efectuando la integral se tiene: \begin{align}p_2-p_1=-\rho g(y_2-y_1)\end{align}Si se toma la presión atmosférica como $p_\circ=p_2$, y se observa que la profundidad $h=y_2-y_1$, se encuentra \begin{align}p=p_\circ+\rho gh\end{align} En otras palabras, la presión absoluta $p$ a la profundidad $h$, por debajo de la superficie de un liquido abierto a la atmósfera, es mayor que la presión atmosférica en una cantidad $\rho gh$. 

Nota: Este resultado también comprueba que la presión es la misma en todos los puntos que están a la misma profundidad. Es más, la forma del recipiente no afecta a la presión.

Algunas aplicaciones

1. Paradoja hidrostática. Si se ponen en comunicación varios recipientes de formas diferentes, se observa que el líquido alcanza el mismo nivel en todos ellos.

Fig. 4. Vasos comunicantes.

A primera vista, debería ejercer mayor presión en su base aquel recipiente que contuviese mayor volumen de fluido. La fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base de un recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en esencia la paradoja hidrostática. Se recomienda el siguiente video para ver la experiencia.

Vídeo 1. Paradoja hidrostática.

2. Como medir la presión atmosferica. Torricelli demostró que el aire que nos rodea, es decir, la atmosfera, tiene peso. Para ello se valió de un tubo abierto en uno de sus extremos, de $1\,m$ de longitud, que rellenó al máximo con mercurio. Al colocarlo en posición vertical con la boca introducida en un recipiente abierto y relleno de mercurio también, observó que el nivel de mercurio en el interior del tubo bajaba hasta la altura de $76 cm$, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Fig. 5. Barómetro de mercurio inventado por Torricelli en 1643.

Ahora, en cualquier punto de la superficie de mercurio contenido en la cubeta, la presión debido a la atmosfera es $P_\circ$ mientras que en el punto $P_a$ es de $\rho gh$. Como al nivel del mar la columna es de $76\,cm$ entonces. $$P=(13600\,kg/m^3)(9.81\,m/seg^2 )(0.76\,m)=1.013\times10^5\,Pa.$$ Se recomienda el siguiente video para ver la experiencia.

Vídeo 2. Experiencia de Torricelli Medida de la Presión Atmosférica.

3. Manómetro de U. En un tubo en forma de U que inicialmente contiene agua, se vierte aceite. Puesto que los líquidos no se mezclan y tienen diferente densidad, quedan distribuidos en el tubo tal como se muestra en la Fig. 6. En el brazo izquierdo del tubo hasta la interfaz agua-aceite está el punto medio del tubo. Si ambos brazos del tubo están abiertos al aire. Determine la densidad del aceite en terminos de $h_{aceite}$ y $h_{agua}$.

Fig. 6. Monómetro abierto.

Puesto que la presión $P$ en la base del tubo es la misma para ambos fluidos. $$P_{\circ} + \rho_{agua}gh_{agua}=P_{\circ} + \rho_{aceite}gh_{aceite}$$ y despejando la densidad del aceite $\rho_{aceite}$ obtenemos $$\rho_{aceite}=\left(\frac{h_{agua}}{h_{aceite}}\right)\rho_{agua}$$ Se recomienda los siguientes videos para ver la experiencia.

Vídeo 3. DENSIDADES DEL ALCOHOL - AGUA - MERCURIO en un tubo en U.

Vídeo 4. PRESIÓN HIDROSTÁTICA - Diferentes Superficies y Profundidades.

4. Manómetro de Gas. De manera similar a la experiencia anterior consideremos un tubo en forma de $U$ (Véase la Fig. 7) que contiene un líquido de densidad conocida $\rho$, con frecuencia mercurio o agua. El extremo izquierdo del tubo se conecta al recipiente donde se medirá la presión $P$, y el extremo derecho está abierto a la atmósfera, con $P_\circ=P_{atm}$. La presión en el fondo del tubo debida al fluido de la columna izquierda es $P+\rho gy_1$ , y la debida al fluido de la columna derecha es $P_{atm}+ \rho gy_2$.

Fig. 7. Manómetro de gas.

Estas presiones se miden en el mismo punto, así que deben ser iguales: $$P+\rho gy_1=P_{atm}+ \rho gy_2$$ Por tanto, la presión absoluta es:$$P=P_{atm}+\rho g(y_2-y_1)=P_{atm}+\rho g h$$ Se recomienda el siguiente video para ver la experiencia.

Vídeo 5. Manómetro casero.