Tiro Parabólico

Un proyectil lanzado con cierta inclinación respecto de la vertical y sometido únicamente a la fuerza constante de su peso, describe una trayectoria parabólica, la velocidad del proyectil tiene en todo momento una componente horizontal y otra vertical, si no se tiene en cuenta la fricción con el aire la componente horizontal es constante hasta que el proyectil alcance el suelo, por el contrario, a causa de la fuerza de la gravedad, el peso, el cambio de la componente vertical es continuo, la suma de las componentes horizontal y vertical de la velocidad es un vector tangente en cualquier punto a la trayectoria parabólica del proyectil.

Applet 1. Simulación de un tiro parabólico 

Según lo anterior, la ecuación de un tiro parabólico en el eje $Y$ corresponde a un movimiento uniformemente acelerado, es decir:  $$\begin{align}y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+ v_{\circ y}t+y_\circ, \end{align}$$  y en el eje $X$ a un movimiento con velocidad uniforme  $$\begin{align}x(t)=v_{\circ x}t+x_\circ. \end{align}$$ donde 

• $v_{\circ y}=v_\circ\sin{\alpha_\circ}$ es la velocidad inicial con la que sale el proyectil en dirección vertical. 
• $v_{\circ x}=v_\circ\cos{\alpha_\circ}$ es la velocidad inicial con la que sale el proyectil en dirección horizontal. 
• $x_\circ$ es la posición inicial del proyectil.  
• $y_\circ$ es la altura inicial del proyectil. 

Tiempo de vuelo del un proyectil. Para calcular el tiempo que tarda un proyectil en caer al suelo, hay que resolver la siguiente ecuación:  $$\begin{align}0=-\frac{1}{2}gt^2+v_{\circ y}t+y_\circ,\end{align}$$ puesto que la altura del proyectil en ese preciso momento es cero, note que esta ecuación es cuadrática en el tiempo y sus coeficientes son:

• $a=-\frac{1}{2}g$
• $b=v_{\circ y}$
• $c=y_\circ$ 

Por tanto, el tiempo de vuelo es $$\begin{align}t_v=\frac{v_{\circ y}+\sqrt{v^2_{\circ y}+2gy_\circ}}{g}.\end{align}$$ De esta misma forma se puede calcular el tiempo que toma el proyectil en llegar a una determinada altura de un posible impacto. 

Alcance máximo del proyectil. Para determinar el alcance de un proyectil una vez lanzado, se tiene que calcular la posición en el eje $X$ en el tiempo de vuelo, es decir: $$\begin{align}x_{max}=x(t_v). \end{align}$$ Este cálculo lo podemos ver en el applet 1.

Altura máxima del proyectil. En la posición de máxima altura del proyectil, la componente vertical de la velocidad es, $v_y=-gt+v_{\circ y}=0$, despejamos de aquí el tiempo, $$t_m=\frac{v_{\circ y}}{g}$$ y se introduce en la expresión de $x(t)$ e $y(t)$ para obtener el punto $$M=(x(t_m),y(t_m)).$$ tal como se muestra en la applet 1.

Vídeos relacionados con este tema:

Vídeo 1. La trayectoria de un lanzamiento vertical, es relativa al observador.

Vídeo 2. Un proyectil cae continuamente en $-\frac{1}{2}gt^2$.