Teorema del trabajo y energía

En los sistemas físicos reales por lo general están presentes fuerzas no conservativas, como las de fricción; por lo tanto, la energía mecánica total no es constante. Sin embargo, puede aplicarse el teorema del trabajo y energía para tomar en cuenta la presencia de las fuerzas no conservativas. Si $W_{nc}$ representa el trabajo realizado sobre una partícula por todas la fuerzan no conservativas y $W_c$ es el trabajo efectuado por todas las fuerzas conservativas, es posible escribir el teorema del trabajo y energía como $$\begin{align}\boxed{W_{nc}+W_{c}=\Delta K}\end{align}$$ Dado que $W_c=-\Delta U$, esta ecuación se reduce a $$\begin{align}W_{nc}=\Delta K+\Delta U=(K_1-K_\circ)+(U_1-U_\circ)\end{align}$$ Es decir, el trabajo efectuado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energía cinética más el cambio de la energía potencial. Como la energía mecánica total es $E=K+U$, también puede expresarse el teorema como $$\begin{align}W_{nc}=(K_1+U_1)-(K_\circ+U_\circ)=E_1-E_\circ\end{align}$$ De forma compacta $$\begin{align}\boxed{W_{nc}=\Delta E}\end{align}$$ Es decir, el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energía mecánica total del sistema. Por supuesto, cuando no existen fuerzas no conservativas se concluye que $W_{nc}=0$ y $E_1=E_\circ$; es decir, se conserva la energía mecánica total. Para entender como usar este resultado veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: El objeto que se muestra en la Fig. 1 tiene $3kg$ de masa y parte del reposo desde una altura de $6m$, describiendo primero una trayectoria circular $AB$ sin fricción y después, una trayectoria horizontal con fricción, $\mu=0.2$, hasta detenerse por efecto del muelle. La distancia $BC$ es de $9m$ de longitud. La constante del muelle es $k=4000 N/m$. Determine en cuánto se va a comprimir el muelle.

Fig. 1 

Solución. Aplicando la conservación de la energía en los extremos de la trayectoria total $AC$ se deduce lo siguiente: $$\begin{align}W_{nc}=\Delta E\hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm}W_{nc}&=E_1-E_\circ\\-F_r\cdot d&=\frac{1}{2}kx^2-mgh\end{align}$$ Teniendo en cuenta que el signo negativo de $W_{nc}$ representa perdida de la energía mecánica y $d=9+x$ es la distancia total recorrida por la fuerza de fricción, la ecuación se reduce a $$\begin{align}\frac{1}{2}kx^2-mgh+F_r\cdot (9+x)=0\hspace{0.8cm}\text{donde}\hspace{0.8cm}F_r=\mu mg\end{align}$$ reemplazando los datos en esta última expresión, se tiene: $$\begin{align}2000x^2+5.88x-123.48=0\end{align}$$ Por último, resolviendo la ecuación cuadratica tenemos que la elongación es $x=0.247m.$

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Vídeo 1. Conservación de la energía ejercicio 1

Vídeo 2. Conservación de la energía ejercicio 2