Ley de Gauss

En este capítulo se describe la ley de Gauss, como una alternativa para calcular campos eléctricos de distribuciones de carga simétricas, esta permite hacer razonamientos cualitativos al tratar con problemas complicados como el de comprender y verificar las propiedades de los conductores en equilibrio electrostático.

Flujo Eléctrico: Se define como las líneas de campo que penetran en una superficie rectangular de área $A$, cuyo plano tiene una orientación perpendicular al campo $E$. note que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. El número total de líneas que penetran en la superficie es proporcional al producto $EA$. A este producto de la magnitud del campo eléctrico $E$ y al área superficial $A$, perpendicular al campo, se le conoce como flujo eléctrico y se denota mediante $\Phi_E=EA.$

Fig. 1. Líneas de campo eléctrico uniforme atravesando un plano de área perpendicular al campo.

Con base en las unidades del SI correspondientes a $E$ y $A$, vemos que $\Phi_E$ se expresa en newtons por metro al cuadrado entre coulombs $N\cdot m^2 /C$.

Si la superficie en cuestión no es perpendicular al campo, el flujo que pasa a través de él debe ser menor que el resultante si se utiliza la ecuación $\Phi_E=EA$ donde la normal en relación con la superficie $A$ forma un ángulo $\theta$ con el campo eléctrico uniforme (ver Fig. 2). Observe que el número de líneas que atraviesan el área $A$ es igual al número de líneas que atraviesa el área $A_\perp$, entonces el flujo que pasa a través de $A$ es \begin{align}\Phi_E=EA_\perp=E(\omega_\perp \ell)=EA\cos{\theta}.\end{align} El ángulo $\theta$ se utiliza para describir la orientación de la superficie de área $A$. También podemos interpretarlo como el ángulo entre el vector de campo eléctrico y la normal a la superficie. 

Fig. 2. Líneas de campo eléctrico uniforme atravesando un área $A$ y diferencial de área superficial $\Delta A_i$ en un campo eléctrico.

Para trasladar este concepto a una superficie general dividida en un gran número de elementos pequeños, cada uno de área $\Delta A_i$ (ver Fig. 3). Es conveniente definir un vector $\Delta\vec{A}_i$ cuya magnitud representa el área del $i$-ésimo elemento de la gran superficie y cuya dirección está definida como perpendicular al elemento de superficie, como se muestra en la Fig. 2. El campo eléctrico $\vec{E}_i$ en la ubicación de este elemento forma un ángulo $\theta_i$ con el vector $\Delta\vec{A}_i$. Por tanto el flujo eléctrico $\Phi_{E ,i}$ a través de este elemento es $$\Phi_{E,i}=E_i\Delta A_i\cos{\theta_i}=\vec{E}_i\cdot\Delta\vec{A}_i$$ donde se ha utilizado la definición de producto escalar de dos vectores. Al sumar las contribuciones de todos los elementos, se obtiene una aproximación del flujo total a través de la superficie. $$\Phi=\sum \vec{E}_i\cdot\Delta\vec{A}_i$$ Si el área de cada elemento se acerca a cero, el número de elementos se acercaría al infinito y la suma se reemplaza por una integral. Por lo tanto, la definición general del flujo eléctrico es $$\Phi_E\equiv\int_{\partial S}\vec{E}\cdot d\vec{A}$$ La ecuación anterior es una integral de superficie, lo que significa que debe ser evaluada sobre la superficie en cuestión. En general, el valor de $\Phi_E$ depende tanto del patrón de campo como de la superficie.

Fig. 3. Superficie cerrada dentro de un campo eléctrico. Los vectores de área son, por convención, normales a la superficie y apuntan hacia fuera.

Ley de Gauss