Notas de Física: Determinación de los errores de medición

Error de apreciación ($\sigma_{ap}$): Si el instrumento está correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizar una medición estará asociada a la mínima división de su escala. Nótese que el error de apreciación se establece como la mínima división discernible y no como la mínima división del instrumento. El error de apreciación puede ser mayor o menor que la apreciación nominal, dependiendo de la habilidad (o falta de ella) del observador. Así, es posible que un observador entrenado pueda apreciar con una regla común fracciones del milímetro mientras que otro observador, con la misma regla pero con dificultades de visión, sólo pueda apreciar $2\,mm$. La apreciación nominal es una característica del instrumento, pero el error de apreciación depende tanto del instrumento como del observador.

Error de exactitud ($\sigma_{exac}$): Representa el error absoluto con el que el instrumento ha sido calibrado frente a patrones confiables.

Error de interacción ($\sigma_{int}$): Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis cuidadoso del método usado.

Falta de definición en el objeto sujeto a medición ($\sigma_{def}$): Se origina en el hecho de que las magnitudes a medir no están definidas con infinita precisión. Esto representa una incertidumbre intrínseca del objeto.

La expresión final de la incertidumbre $\Delta x$ de una medición tiene en cuenta todas las distintas contribuciones, de diferente origen y tipo. La forma usual de calcularla es combinarlas de la siguiente manera: $$\Delta x=\sigma_{ef}=\sqrt{\sigma^2_{est}+\sigma^2_{nom}}$$ donde:

Denominamos a $\Delta x$ como la incertidumbre combinada o error efectivo de la medición.
La incertidumbre o error nominal de la medición$$\sigma^2_{nom}=\sigma^2_{ap}+\sigma^2_{exac}+\sigma^2_{int}+\sigma^2_{def}+\cdots$$es la combinación de todas las incertidumbres provenientes de errores de exactitud o errores sistemáticos. Este procedimiento de sumar los cuadrados es un resultado de la estadística y proviene de suponer que las distintas fuentes de error son todas independientes unas de otras. Los puntos suspensivos indican los aportes de otras posibles fuentes de error.
La incertidumbre o error estadístico $\sigma_{est}$ (desviación estándar) es aquel que se produce de manera aleatoria en las mediciones y puede deberse a variaciones en las condiciones ambientales, a errores de lectura, a la habilidad del observador para leer la escala, entre otros factores. Este tipo de error produce una variabilidad en los resultados y se puede reducir aumentando el número de mediciones y calculando la media.

Tipos de medidas

Medición directa única: El error o incertidumbre de una magnitud que se mide en forma directa una sola vez y se expresa como: $$(x \pm \Delta x)\,\text{unidades}\hspace{0.8cm}\text{ó}\hspace{0.8cm}(x \pm \epsilon_x\%)\,\text{unidades}$$ donde $x$ el valor medido, $\Delta x$ su error efectivo y $\epsilon_x\%=100\frac{\Delta x}{x}$ representa el error relativo. Aquí “unidades” indica la unidad de medición adoptada.

Mediciones directas repetidas: Muchas veces es posible y deseable realizar múltiples mediciones de una misma magnitud. Esta técnica, posibilita entre otras cosas minimizar los errores estadísticos o aleatorios, que siempre están presentes en una medición. Está se expresa como: $$(\bar{x} \pm \Delta x)\,\text{unidades}\hspace{0.8cm}\text{ó}\hspace{0.8cm}(\bar{x} \pm \epsilon_\bar{x}\%)\,\text{unidades}$$ donde $\bar{x}$ es el promedio de las mediciones.

Mediciones indirectas: Existen numerosos casos en que la magnitud de interés no se mide directamente, sino que se calcula a partir de otras que si se miden en forma directa. Imaginemos que deseamos conocer la densidad de una objeto, una forma de lograrlo es medir su volumen y su masa. La caracterización del error tanto del volumen como de la masa se realiza con las pautas discutidas anteriormente, pues son medidas directas, pero la determinación del error en la densidad, requiere de la siguiente técnica de propagación de errores. Si $x$ e $y$ son las magnitudes que se miden directamente y $z$ se calcula a partir de ellas, tenemos: $$z=f(x,y)\hspace{1.5cm}\Longrightarrow\hspace{1.5cm}\Delta z^2=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\Delta x^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\Delta y^2$$donde $\Delta x$ y $\Delta y$ corresponden a los errores efectivos de las magnitudes $x$ e $y$.

Medición de parámetros de un modelo: Hay casos en que la variable de interés resulta del ajuste de una recta u otra función, a un conjunto de datos medidos directamente. Por ejemplo, la constante $k$ de un resorte que sigue la ley de Hooke: $F=kx$, siendo $F$ la fuerza aplicada al resorte y $x$ su estiramiento. En este caso medimos las variables $F_i$ y $x_i$ para distintas fuerzas aplicadas y su correspondiente estiramiento. Del grafico de $F$ en función de $x$ determinamos la pendiente, $k$, de la recta que mejor ajusta estos datos. La pregunta ahora es como calcular el error de esta pendiente.