Errores e Incertidumbres en una medición

Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o sustancia, susceptible de ser medido de forma directa o indirecta. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc. A una magnitud específica de un objeto que queremos medir la llamamos mesurando. Por ejemplo, si estamos interesados en medir la longitud de una barra, esa longitud específica será el mesurando.

El objetivo de una medición es comparar y determinar el valor del mesurando. Este proceso requiere de la elección de instrumentos de medición y un sistema de unidades de medición. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una varilla, el instrumento de medición será una regla y si elegimos el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad será el metro. La regla a usar deberá estar calibrada en metros o en algún submúltiplo del mismo. El método de medición consistirá en determinar cuantas veces la unidad y fracciones de ella están contenidas en el valor del mesurando.

En general, el resultado de una medición es sólo una aproximación o estimación del valor del mesurando. Esto se debe a las limitaciones propias del proceso de medición como consecuencia de:

• La sensibilidad y exactitud de los instrumentos usados.
• La interacción del método de medición con el mesurando.
• La definición del objeto a medir.
• La influencia del observador u observadores que realizan la medición.
  

Estas imperfecciones dan lugar a un error o incertidumbre en el resultado de la medición. En las ciencias e ingeniería el error de una medición está asociado al concepto de incertidumbre en la determinación de un resultado. Más precisamente, lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de estas incertidumbres. Buscamos establecer un intervalo $$\bar{x}-\Delta x\leq x\leq \bar{x}+\Delta x,$$ en el que podamos decir, con cierta probabilidad, se encuentra el mejor valor de la magnitud $x$. En otras palabras el objetivo de la medición es establecer un intervalo de confianza $(\bar{x}-\Delta x,\bar{x}+\Delta x)$ donde con cierta probabilidad podemos asegurar se encuentra el valor más representativo de la medición. El mejor valor o valor más representativo de la medición es $\bar{x}$ y al semiancho del intervalo $\Delta x$ lo denominamos la incertidumbre absoluta (o bien error absoluto) de la medición.

La sensibilidad de un instrumento está asociada a la variación mínima de la magnitud que el mismo puede detectar. Por ejemplo, con una regla graduada en milímetros no se puede detectar variaciones menores a una fracción del milímetro, su sensibilidad es un milímetro. Los instrumentos de medición tienen una sensibilidad finita, la mínima variación que puede detectar, se denomina la apreciación nominal o resolución del instrumento, y en general coincide con la división más pequeña de su escala. Ver Fig. 1.

Fig. 1. El primer termometro es digital y de punzón, tiene un rago de $-50^\circ C+150^\circ C$, una resulución de $0.1^\circ$ y una precisión de $\pm 1^\circ$. El segundo termometro es infrarrojo, tiene un rago de $-50^\circ C+1000^\circ C$, una resulución de $0.1^\circ$ y una precisión de $\pm 1\%$. 

La interacción del método de medición con el mesurando genera una incertidumbre en la medición. Por ejemplo, cuando usamos un termómetro para medir una temperatura, algo de calor fluye del objeto al termómetro (o viceversa), de modo que el resultado de la medición de la temperatura del objeto es un valor modificado del original debido a la inevitable interacción que debimos realizar. Es claro que esta interacción podrá o no ser significativa. Si estamos midiendo la temperatura de un metro cúbico de agua, la cantidad de calor transferida al termómetro puede no ser significativa, pero sí lo será si el volumen en cuestión es de una pequeña fracción del mililitro. En general, siempre que realizamos una medición, interactuamos con el objeto de medición.

La definición del objeto tampoco se puede hacer con infinita precisión. Imaginemos que queremos medir el largo de un listón de madera. Es posible que al usar instrumentos cada vez más precisos empecemos a notar las irregularidades típicas del corte de los bordes o, al ir aun más allá, finalmente detectemos la naturaleza atómica o molecular del material que lo constituye. En este punto la longitud dejará de estar bien definida. En la práctica, es posible que mucho antes de estos casos límites, la falta de paralelismo en sus bordes haga que el concepto de la “longitud del listón” comience a hacerse cada vez menos definido. Esta limitación intrínseca aporta una incertidumbre intrínseca debido a la falta de definición de la magnitud en cuestión.

Fig. 2. Pie de rey con un rango de $150mm$ y una resolución de $0.01mm$

Otro ejemplo, asociado a la falta de definición de una magnitud física, es el caso en que se cuenta la cantidad de partículas alfa emitidas por una fuente radioactiva en un intervalo de tiempo, por ejemplo en cinco segundos. Sucesivas mediciones de la misma magnitud, para la misma fuente y con idénticos instrumentos, arrojarán resultados diferentes (similares, pero en general distintos). En este caso, de nuevo, estamos frente a una manifestación de una incertidumbre intrínseca asociada a la magnitud “número de partículas emitidas en cinco segundos”, más que a las incertidumbres que tienen como origen las imperfecciones de los instrumentos o del observador. De hecho esta incertidumbre es intrínseca del carácter estadístico de la física y la naturaleza misma.

La influencia del observador que realiza la medición. Supongamos que queremos medir la velocidad de una pelota que se mueve a través de un campo de fútbol. Para medir la velocidad de la pelota, podemos utilizar un radar Doppler que emite ondas electromagnéticas y mide la frecuencia de las ondas reflejadas por la pelota. Sin embargo, la emisión de ondas electromagnéticas por parte del radar puede afectar la velocidad de la pelota, ya que la interacción entre las ondas y la pelota puede cambiar su dirección o velocidad. Además, el proceso de medición en sí mismo puede ser afectado por la posición del observador y la trayectoria de la pelota, lo que puede hacer que la medida no sea precisa. 

Todas estas limitaciones derivan en que no podamos obtener con certeza “el” valor de un mesurando, sino que solo podamos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente contenido, lo que hacemos evaluando e informando la incertidumbre de la medición. En este sentido, el proceso de medición en física es similar a la “estimación por intervalo” que se realiza en Estadística.

Los errores se pueden clasificar según su carácter en:

Errores sistemáticos: Son aquellos introducidos por instrumentos o métodos imperfectos que afectarán la exactitud de nuestros resultados. Estos no son los únicos, también pueden existir factores externos, imaginemos el caso de una balanza bien calibrada que se usa para conocer el peso de las personas en los centros comerciales u otros negocios. Como es usual, en público todas las personas medimos nuestra masa con la ropa puesta, por tanto, los valores registrados con estas balanzas tendrán un error sistemático debido la masa de la vestimenta.

Errores estadísticos: Son los que se producen por el azar. En general son debidos a causas múltiples y fortuitas. Ocurren cuando, por ejemplo, nos equivocamos en contar el número de divisiones de una regla, o si estamos mal ubicados frente al fiel de una balanza. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad tanto por defecto como por exceso. Por consiguiente, midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. A estos errores los designaremos con $σ_{est}$.

Errores ilegítimos o espurios: Son los que cometemos por equivocación o descuido. Supongamos que deseamos calcular el volumen $V$ de un objeto esférico y para ello determinamos su diámetro $d$ y usamos la expresión incorrecta: $V=\frac{4}{3}\pi d^3$, en lugar de la correcta: $V=\frac{1}{6}\pi d^3$. Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula nos equivocamos en el número introducido o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bien usando una expresión equivocada del volumen, claramente habremos cometido “un error”. Esta vez este error es producto de una equivocación. A este tipo de errores los designamos como ilegítimos o espurios. Para este tipo de errores no hay tratamiento teórico posible y el modo de evitarlos consiste en poner mucha atención en la ejecución y análisis de los procedimientos involucrados en las mediciones.