Ecuaciones de Continuidad y de Bernoulli

Para el estudio de la hidrodinámica se consideran cuatro aproximaciones importantes en los fluidos:

• El fluido no es viscoso, es decir se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento.
• El fluido es incompresible, es decir, su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases.
• El movimiento de los fluidos es estacionario, es decir, que las magnitudes físicas como la densidad, la presión y la velocidad del líquido en un punto son independiente del tiempo.
• El flujo es irrotacional. Esto implica que cada elemento del fluido tiene velocidad angular cero en torno a su centro, de modo que no existe turbulencia. Por lo tanto, una pequeña rueda de paletas colocada en cualquier punto del fluido no girará y no se pueden formar remolinos.

El caudal: Se define como la cantidad total de fluido, que pasa por un elemento de área en un tiempo determinado. $$\begin{align}Q=\frac{\Delta V}{\Delta t}=A\frac{\Delta x}{\Delta t}=Av\end{align}$$ Supóngase un fluido con densidad constante que llena un tubo y fluye a través de él. Si el área de la sección transversal del tubo es $A_1$ en un punto y $A_2$ en el otro, como se muestra en la Fig. 1. Entonces $$\begin{align}Q=A_1v_1=A_2v_2\end{align}$$ A esta expresión se le conoce como la ecuación de continuidad.

Video 1. Tres experimentos del principio de Bernoulli.

Ecuación de Bernoulli: Para un flujo estacionario de una corriente continua de fluido: Considérense dos puntos diferentes a lo largo de la trayectoria de la corriente como se indica en la Fig. 1. Entonces, si el fluido es incompresible y de viscosidad despreciable $$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+y_1\rho g=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+y_2\rho g$$ donde, $P$ es la presión, $\rho$ la densidad, $y$ la altura y $v$ la velocidad del fluido en un punto determinado. En otras palabras, la cantidad: $$P+\frac{1}{2}\rho v^2+y\rho g$$ se mantiene constante durante todo el trayecto.

Fig. 1 Fluido ideal moviéndose a través de una tubería no uniforme.

Demostración. En efecto, el trabajo realizado por el fluido en el punto 1 es $$W_1=F_1\Delta x_1=P_1A_1\Delta x_1=P_1\Delta V$$ de manera análoga en el punto 2 y teniendo en cuenta el fluido por delante de la fuerza, se tiene: $$W_2=-P_2\Delta V\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}W_T=(P_1-P_2)\Delta V$$ Ahora el cambio de las energías cinética y potencial son: $$\Delta K=\frac{\Delta m}{2}\left(v_2^2-v_1^2\right)\hspace{1cm}y\hspace{1cm}\Delta U=\Delta m \, g\left(y_2-y_1\right)$$ Finalmente, aplicando el principo de conservación $W_T=\Delta K + \Delta U$ y teniendo en cuenta que $\rho=\frac{\Delta m}{\Delta V}$ se obtiene el resultado.

Para un mayor entendimiento se recomienda ver los siguientes videos

Video 2. Teorema de Bernoulli - Principio de continuidad.

Video 3. Ecuación de continuidad.

Video 4. Ecuación de Bernoulli.

Algunas aplicaciones

1. Tubo L para medir la velocidad de un río. Para medir la velocidad del agua que circula por un arroyo, se dispone de un tubo en L, como se muestra en la Fig. 2 ¿Cuál será la velocidad de la corriente si el agua asciende por el tubo vertical hasta una altura de $h\,cm$ por encima de la superficie libre del agua?

Fig. 2 Tubo L.

Solución. Aplicando la ecuación de Bernoulli en el trayecto $BC$ y teniendo en cuenta que $C$ es un punto estacionario, es posible aplicar el principio hidrostático en los trayectos $AB$ y $CD$. Por tanto, $$\begin{align}AB:\hspace{1cm}&P_A=P_B-\rho g h'\\BC:\hspace{1cm}&P_B+\frac{1}{2}\rho v^2_B=P_C \\CD:\hspace{1cm}&P_C-\rho gh'=P_D+\rho gh \end{align}$$ Ahora, sumando las tres ecuaciones y teniendo en cuenta que la presión en los puntos $A$ y $D$ corresponde a la presión atmosférica, se deduce lo siguiente: $$P_A+\frac{1}{2}\rho v_B^2=P_D+\rho gh\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}v_B=\sqrt{2gh},$$ donde $v_B$ es la velocidad del arroyo. 

2. Tubo Venturi. Se puede demostrar que a mayor área dentro de un tubo se tiene menor velocidad del fluido pero mayor presión absoluta.

Fig. 3 Tubo Venturi.

Solución. En efecto, de la ecuación de continuidad se tiene que $$A_1v_1=A_2v_2\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}v_2=\frac{A_1}{A_2}v_1$$ de la grafica se muestra que $A_1>A_2$,  es decir;  $$\frac{A_1}{A_2}>1\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}v_2>v_1$$ Por otro lado, de la ecuación de Bernoulli tenemos que $$\begin{align}P_1&=c-\frac{1}{2}\rho v_1^2\\P_2&=c-\frac{1}{2}\rho v_2^2 \end{align}$$ y es claro que si $v_1<v_2$ entonces $P_1>P_2.$

Video 5. Aplicación en un embudo.

3. Atomizador. En un pulverizador de pesticida se sopla aire sobre el extremo superior de un tubito abierto por sus dos extremos, estando el extremo inferior sumergido en un recipiente que contiene un líquido cuya densidad es $\rho_f$ . ¿Cuál deberá ser la velocidad mínima del aire que pueda elevar el líquido a una altura $h$ para ser dispersado?

Fig. 4 Atomizador.

Solución. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre $A$ y $B$, a lo largo de la corriente de aire $$P_A+\frac{1}{2}\rho_Av^2=P_\circ$$ donde $\rho_A$ es la densidad del aire. Ahora, aplicando la ecuación fundamental de la hidrostática entre los puntos de presión $P_\circ$ y $P_A$  $$P_\circ=P_A+\rho_fgh.$$ Finalmente, sumando miembro a miembro las ecuaciones anteriores se llega a lo siguiente: $$\frac{1}{2}\rho_Av^2=\rho_f gh\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}v=\sqrt{\frac{2\rho_A gh}{\rho_f}}$$ donde $v$ es la velocidad de la corriente de aire en función de las densidades y la altura del tubo.

4. Ecuación de Torricelli. Una aplicación a la ecuación de Bernoulli, es medir la velocidad con la que sale un fluido por un agujero en el fondo de un estanque. En efecto, aplicando la ecuación de Bernuolli en el punto 2 sobre la superficie del liquido y en el punto 1 la salida $$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gy_1=P_2+\rho v_2^2+\rho gy_2.$$

Fig. 5 Deposito con orificios.

Ahora, suponiendo que el diámetro del recipiente es grande, en comparación con el tubo de salida, $v_2 \to 0$. De modo que: $$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gy_1=P_2+\rho gy_2.$$ Finalmente, teiniendo en cuenta que los puntos 1 (la salida) y 2 (la superficie) están abiertos a la atmósfera, $P_1=P_2=P_\circ$ con lo que se obtiene $$v_1=\sqrt{2gh}$$ donde $v_1$ es la velocidad de salida del chorro a una profundidad $h$.

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Vídeo 6. Aplicaciones.