Doble plano inclinado

Determine la aceleración y la tensión del sistema conformado por un doble plano inclinado con distinto coeficiente de rozamiento en ambas superficies, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Fig. 1 Doble plano inclinado

Solución: Para resolver este tipo de problemas debemos realizar los siguientes pasos:

1. Construir un diagrama de cuerpo libre para cada bloque, como se puede apreciar en las Fig. 2-3.

2. Aplicar la segunda ley de Newton a cada bloque del sistema suponiendo que el movimiento se efectúa en un sentido, en nuestro caso, sin perdida de generalidad hemos supuesto el movimiento en contra de las manecillas del reloj:

• Para el bloque de masa $m_1$: $$\begin{align}\hspace{6.2cm} m_1g\sin{\alpha}-T-\mu_1m_1g\cos{\alpha}= m_1 a \hspace{6cm}(1)\end{align}$$

Fig. 2 Diagrama de cuerpo libre para la masa $m_1$

• Para el bloque de masa $m_2$: $$\begin{align}\hspace{6.2cm}T-m_2g\sin{\beta}-\mu_2m_2g\cos{\beta} = m_2 a\hspace{6.2cm}(2)\end{align}$$

Fig. 3 Diagrama de cuerpo libre para la masa $m_2$

3. Resolver el sistema de ecuaciones formadas en el segundo paso  $$\begin{align}a&=\frac{m_1g(\sin{\alpha}-\mu_1\cos{\alpha})-m_2g(\sin{\beta}+\mu_2\cos{\beta})}{m_1+m_2}\\T&=m_2g(\sin{\beta}+\mu_2\cos{\beta})+m_2a \end{align}$$ Por otro lado, suponiendo el sentido a favor de las manecillas del reloj, la aceleración y la tensión del sistema son: $$\begin{align}a'&=\frac{m_2g(\sin{\beta}-\mu_2\cos{\beta})-m_1g(\sin{\alpha}+\mu_1\cos{\alpha})}{m_1+m_2}\\T'&=m_1g(\sin{\alpha}+\mu_1\cos{\alpha})+m_1a' \end{align}$$ Cabe aclarara que si los valores de $a$ y $a'$ son negativos quiere decir que el sistema debe permanecer en equilibrio pues no iría para ninguno de los dos lados. Esta condición es la que se tubo en cuenta para crear el Applet 1 que se muestra a continuación. 

Applet 1. Simulación de un doble plano inclinado.