Deducción de las ecuaciones de un tipo parabólico

Al aplicar las leyes de Newton a una partícula en una dirección específica, como se ha mencionado previamente, se obtiene lo siguiente:

Ecuaciones  de	Caso estático MRU  $\sum F=0$	Caso dinámico MRUA $\sum F=ma$
Movimiento	$x=x_\circ+v_\circ t$	$\,x=x_\circ+v_\circ t \pm \frac{1}{2}at^2\,$
Velocidad	$v=v_\circ$	$v=v_\circ+at$
Aceleración	$a=0$	$a$ constantes

Tabla 1.

Aplicando la segunda ley de Newton $\vec{F}=m\vec{a}$ se puede deducir la ecuación de un lanzamiento parabólico.

Fig. 1. Componentes vectoriales de un tiro parabólico

Dado que este es un movimiento en $2D$, la segunda ley de Newton es vectorial, es decir: $$\vec{F}=-mg\,\hat{\jmath}$$ Por tanto, sus componentes $F_x=0$ y $F_y=-mg$ forman dos ecuaciones diferenciales, al solucionarlas de forma independiente, se obtiene la ecuación de un lanzamiento parabólico, tal como se muestra a continuación:

• La ecuación de movimiento en la componente $x$, \begin{align*}F_x=0 \hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm} a_x=0,\end{align*} es decir, el cambio de la velocidad en dirección horizontal, es constante, en otras palabras \begin{align}\frac{d}{dt}v_x=0 \hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm}v_x(t)=C,\end{align} la constante $C$ representa entonces, la velocidad inicial $v(0)=v_{\circ x}$ con la que el objeto fue lanzado en dirección horizontal. Ademas, integrado esta última expresión, \begin{align} \frac{d}{dt}x=v_{\circ x} \hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm}\int dx=v_{\circ x}\int dt\end{align} se tiene la ecuación de movimiento en $x$ \begin{align}x(t)=v_{\circ x}t+K,\end{align} para obtener la constante $K$ se hace $t=0$, es decir, $K=x(0)=x_\circ$, luego la forma final de la ecuación en $x$ es: \begin{align}x(t)=v_{\circ x}t+x_\circ.\end{align}
• La ecuación de movimiento en la componente $y$, \begin{align}F_y=-mg\hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm} a_y=-g \end{align}es decir, el cambio de la velocidad en dirección vertical, es $-g$, en otras palabras \begin{align}\frac{d}{dt}v_y=-g \hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm}v_y(t)=-gt+C,\end{align} la constante $C$ representa entonces, la velocidad inicial $v(0)=v_{\circ y}$ con la que el objeto fue lanzado en dirección vertical. Ademas, integrado esta última expresión, \begin{align} \frac{d}{dt}y=-gt+v_{\circ y} \hspace{2cm}\Longrightarrow\hspace{2cm}\int dy=-\frac{1}{2}g\int tdt +v_{\circ y}\int dt\end{align} se tiene la ecuación de movimiento en $y$ \begin{align}y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_{\circ y}t+K,\end{align} de manera análoga, para obtener la constante $K$ se hace $t=0$, es decir, $K=y(0)=y_\circ$, luego la forma final de la ecuación en $y$ es: \begin{align}y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_{\circ y}t+y_\circ.\end{align}

Se recomienda ver el siguiente vídeo:

Vídeo 1. Deducción de las ecuaciones de un tiro parabólico usando las leyes de Newton