La transformación de un punto (x1,x2,x3) en el espacio del sistema cartesiano hacia el sistema de coordenadas generalizadas (x′1,x′2,x′3), se define por medio de:x1=x1(x′1,x′2,x′3)x2=x2(x′1,x′2,x′3)x3=x3(x′1,x′2,x′3)
La transformación inverza entre estas coordenadas es dado por:x′1=x′1(x1,x2,x3)x′2=x′2(x1,x2,x3)x′3=x′3(x1,x2,x3)
Tensor Métricods2=dx21+dx22+dx23
gij=(g11g12g13g21g22g23g31g32g33)=(h21000h22000h23)
Matriz de transformación de vectores unitarios. Teniendo en cuenta el vector posición en coordenadas generalizadas, podemos transformar de ei hacia e′i de la siguiente forma:→r=x1ˆe1+x2ˆe2+x3ˆe3dondexi=xi(x′1,x′2,x′3)e′i=1hi∂→r∂x′i
teniendo en cuenta la notación de índices repetidosdx1=∂x1∂x′1dx′1+∂x1∂x′2dx′2+∂x1∂x′3dx′3=∂x1∂x′idx′idx2=∂x2∂x′1dx′1+∂x2∂x′2dx′2+∂x2∂x′3dx′3=∂x2∂x′idx′idx3=∂x3∂x′1dx′1+∂x3∂x′2dx′2+∂x3∂x′3dx′3=∂x3∂x′idx′i
⟹ds2=(∂x1∂x′idx′i)(∂x1∂x′jdx′j)+(∂x2∂x′idx′i)(∂x2∂x′jdx′j)+(∂x3∂x′idx′i)(∂x3∂x′jdx′j)=(∂x1∂x′i∂x1∂x′j+∂x2∂x′i∂x2∂x′j+∂x3∂x′i∂x3∂x′j)dx′idx′j=∑ijgijdx′idx′j
Teniendo en cuenta que el vector posición es→r=(x1(x′1,x′2,x′3),x2(x′1,x′2,x′3),x3(x′1,x′2,x′3))
⟹gij=∂x1∂x′i∂x1∂x′j+∂x2∂x′i∂x2∂x′j+∂x3∂x′i∂x3∂x′j=(∂x1∂x′i,∂x2∂x′i,∂x3∂x′i)⋅(∂x1∂x′j,∂x2∂x′j,∂x3∂x′j)=(∂→r∂x′i)⋅(∂→r∂x′j)=(hiˆei)⋅(hjˆej)=hihjδij
⟹
gij=(g11g12g13g21g22g23g31g32g33)=(h21000h22000h23)
ds2=(h1dx′1)2+(h2dx′2)2+(h3dx′3)2dondehi=‖∂→r∂x′i‖
Matriz de transformación de vectores unitarios. Teniendo en cuenta el vector posición en coordenadas generalizadas, podemos transformar de ei hacia e′i de la siguiente forma:→r=x1ˆe1+x2ˆe2+x3ˆe3dondexi=xi(x′1,x′2,x′3)e′i=1hi∂→r∂x′i
(e′1e′2e′3)=(1h1∂x1∂x′11h1∂x2∂x′11h1∂x3∂x′11h2∂x1∂x′21h2∂x2∂x′21h2∂x3∂x′21h3∂x1∂x′31h3∂x2∂x′31h3∂x3∂x′3)(e1e2e3)
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