Processing math: 100%

Coordenadas generalizadas

La transformación de un punto (x1,x2,x3) en el espacio del sistema cartesiano hacia el sistema de coordenadas generalizadas (x1,x2,x3), se define por medio de:x1=x1(x1,x2,x3)x2=x2(x1,x2,x3)x3=x3(x1,x2,x3)
La transformación inverza entre estas coordenadas es dado por:x1=x1(x1,x2,x3)x2=x2(x1,x2,x3)x3=x3(x1,x2,x3)

Tensor Métricods2=dx21+dx22+dx23
teniendo en cuenta la notación de índices repetidosdx1=x1x1dx1+x1x2dx2+x1x3dx3=x1xidxidx2=x2x1dx1+x2x2dx2+x2x3dx3=x2xidxidx3=x3x1dx1+x3x2dx2+x3x3dx3=x3xidxi
ds2=(x1xidxi)(x1xjdxj)+(x2xidxi)(x2xjdxj)+(x3xidxi)(x3xjdxj)=(x1xix1xj+x2xix2xj+x3xix3xj)dxidxj=ijgijdxidxj
Teniendo en cuenta que el vector posición esr=(x1(x1,x2,x3),x2(x1,x2,x3),x3(x1,x2,x3))
gij=x1xix1xj+x2xix2xj+x3xix3xj=(x1xi,x2xi,x3xi)(x1xj,x2xj,x3xj)=(rxi)(rxj)=(hiˆei)(hjˆej)=hihjδij

gij=(g11g12g13g21g22g23g31g32g33)=(h21000h22000h23)
ds2=(h1dx1)2+(h2dx2)2+(h3dx3)2dondehi=rxi

Matriz de transformación de vectores unitarios.
Teniendo en cuenta el vector posición en coordenadas generalizadas, podemos transformar de ei hacia ei de la siguiente forma:r=x1ˆe1+x2ˆe2+x3ˆe3dondexi=xi(x1,x2,x3)ei=1hirxi
(e1e2e3)=(1h1x1x11h1x2x11h1x3x11h2x1x21h2x2x21h2x3x21h3x1x31h3x2x31h3x3x3)(e1e2e3)


No hay comentarios:

Publicar un comentario