Componentes vectoriales en un movimiento rectilíneo uniforme

La composición de movimientos es la combinación de dos o más movimientos simples. Para obtener las ecuaciones del movimiento compuesto, debemos tener en cuenta: 

• La posición del móvil se obtiene sumando vectorialmente los vectores de posición de los movimientos componentes.
• La velocidad se obtiene sumando vectorialmente los vectores velocidad de los movimientos componentes.
• El tiempo empleado en el movimiento compuesto es igual al tiempo empleado en cualquiera de los movimientos componentes.

Ejemplo. Imaginemos una barca que se mueve a velocidad constante con la que queremos cruzar el río perpendicularmente a las orillas. La barca es desviada por la corriente del río de manera que su trayectoria es una recta que forma un ángulo $\theta$ con la orilla.

Fig. 1. Velocidad vectorial total

El movimiento real de la barca está compuesto por:

• Un MRU perpendicular a las orillas del río, debido a la barca o al esfuerzo del remero.
• Un MRU paralelo a las orillas, debido a la corriente del río.

Vector velocidad. El móvil sale del punto $O$ sometido a la vez a las velocidades constantes $\vec{v}_x=\vec{v}_{rE}$ (velocidad del río) y $\vec{v}_y=\vec{v}_{br}$ (velocidad de la barca), perpendiculares, siendo $\vec{v}_T=\vec{v}_{bE}$ la velocidad resultante dada por la suma vectorial

$$\begin{align}\vec{v}_T=\vec{v}_xi+\vec{v}_yj\end{align}$$ su modulo es $$\begin{align}v_T=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.\end{align}$$ y el ángulo de desviación formado por la trayectoria y la orilla es $$\begin{align}\tan{\theta}=\frac{v_x}{v_y}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\theta =\tan^{-1}\left(\frac{v_x}{v_y}\right)\end{align}$$ Vector posición. Dado que ambos movimientos componentes son rectilíneos y uniformes, la ecuación de posición para cada uno de ellos es la de un MRU. Si tomamos como origen de coordenadas el punto de la orilla de donde salen las barcas estas ecuaciones son:

• Para el río: $x=v_xt$
• Para la barca: $y=v_yt$

El vector de posición, es la suma vectorial de los vectores correspondientes a cada movimiento:

$$\begin{align}\vec{r}=\vec{x}i+\vec{y}j\end{align}$$ su módulo vale $$\begin{align}r=\sqrt{x^2+y^2}\end{align}$$ El módulo del vector de posición coincide con la distancia recorrida por el móvil. El tiempo empleado en el movimiento compuesto, es igual al tiempo empleado en cada uno de los movimientos componentes, y esta dado por: $$\begin{align}t_f=\frac{a}{v_y}\end{align}$$ donde $a$ representa el ancho del río, ahora, para calcular el desplazamiento horizontal que experimenta la barca, se usa la expresión $$\begin{align}x_f=v_xt_f\end{align}$$ así como la distancia recorrida es $$\begin{align}r=v_Tt_f\end{align}$$

Caso particular: Deseamos cruzar un río de $200\,m$ de ancho. Si la velocidad de la corriente es de $4\,m/s$ y nuestra barca desarrolla una velocidad de $9\,m/s$ perpendicular a la corriente, calcule: 

1. La velocidad de la barca con respecto a un sistema de referencia situado en la orilla.
2. El tiempo que tarda en atravesar el río.
3. La distancia recorrida por la barca.
4. El desplazamiento horizontal que experimenta. 
5. El ángulo de desviación $\theta$.

Applet 1. Componentes vectoriales de un MRU

Solución:

• $\vec{v}_T=4i +9j\,\,$ Módulo de $\,\,v_T= 9.85 m/s$
• $t= 22.22s$ tiempo final 
• $x= 88.89\,m$ desplazamiento río abajo 
• $r= 218.86\,m$ desplazamiento total
• $23.96^\circ$NE ángulo de desviación