Fuerza de un fluido sobre una superficie plana

1. Fuerza del fluido sobre una superficie plana sumergida verticalmente. La fuerza del fluido $F$ en un lado plano de un objeto sumergido verticalmente es: $$\begin{align}F=\rho g\int_a^b y f(y)\,dy\end{align}$$ donde $f(y)$ es el ancho horizontal del lado a la profundidad $y$, y los limites de la integral corresponden al objeto que se extiende desde profundidad $y=a$ a la profundidad $y = b$, tal como se muestra en la Fig. 1.

Fig. 1

2. Fuerza del fluido sobre una superficie plana sumergida de forma oblicua. Para estudiar este caso veamos el siguiente ejemplo: El lado de una presa está inclinado en un ángulo de 45°. La presa tiene una altura de 700 pies (213.36 m) y un ancho de 1500 pies (457.2 m) como en la Fig 2. Calcule la fuerza $F$ en la presa si el depósito se llena hasta la parte superior. 

Fig. 2

Solución: Como se sabe, la fuerza del fluido sobre la superficie se calcula con la integral $$\begin{align}F= \int PdA\end{align}$$ donde $dA$ es el diferencial de área y $P=\rho g y$ es la presión del fluido a una profundidad $y$. Apoyándonos en la Fig. 2 se puede ver que $\sin\theta = \frac{dy}{dh}$ con lo cual el diferencial de área toma la siguiente forma: $$\begin{align}dA=\frac{f(y)}{\sin\theta} dy\end{align}$$ aquí $\theta$ es el angulo de inclinación de la presa y $f(y)$ es el ancho de la presa en función de la profundidad (en este caso es constante y vale $\omega=457.2\,m$). Por tanto, la fuerza del fluido sobre la presa es: $$\begin{align}F&=\rho g\int_a^b \frac{yf(y)}{\sin\theta} \,dy=\frac{\rho gw}{\sin\theta}\int_0^{213.36} y \,dy\\&=\frac{\rho gw}{2\sin 45^\circ}y^2\bigg|_0^{213.36}= 1.44226\times 10^{11}\,N.\end{align}$$